第四章 数学基础
一、坐标系
笛卡尔坐标系，分为二维三维。
二维坐标系 OpenGL是左下角为0，DirectX是左上角。
三维坐标系，3个坐标轴也被称为基矢量，长度为1的基矢量叫做标准正交基，长度不唯1的叫正交基。
三维笛卡尔坐标系又分为左手坐标系与右手坐标系。
Unity使用的是左手坐标系，摄像头的观察空间是右手坐标系（摄像头前方为z轴的负方向）。
二、点和矢量
矢量：有方向有模，没有位置。
点：只是一个位置。
矢量的加减乘除运算，模运算。
单位矢量：被归一化的矢量。通过在矢量上方加个^来表示是矢量的模。
单位矢量的运算：通过矢量除以矢量的模来进行计算。
单位矢量计算通常使用在法线方向、光源方向等。
矢量的点积（内积/点乘）：
点积就是可以确定两个矢量的方向关系。投影长度=标量。
点乘结果>0 ：两个矢量方向关系为<90°。（=0 ： 垂直，<0 : >90°）
求适量的模可以将矢量对其自身进行点乘，运算后开方。
a·b=|a||b|cos夹角
矢量的叉积（外积/叉乘）：
叉积结果是矢量，不满足交换律，叉积的结果是得到一个同时垂直于这两个矢量的新矢量。
使用左手定则，右手定则来判断在不同坐标系中，新得到的矢量方向。
|a×b|=|a||b|sin夹角
我们可以通过点乘（cos值）来确定某两个矢量的夹角关系。
还可以通过叉乘判断一个面的正面反面（通过确定面上的三个点的顺时针、逆时针方向来确定，逆时针顺时针判断就要通过叉乘后新矢量的Z轴的正负确定）
三、矩阵
行、列、
行矩阵、列矩阵可以代替矢量，在空间变换中这样可以让矢量像矩阵一样参与矩阵运算。
1.矩阵运算
矩阵与标量的乘法：
即将每个矩阵中的元素，与标量相乘。
矩阵与矩阵的乘法：
矩阵相乘是有要求的，一个矩阵的行数必须和另外一个矩阵的列数相同。
想乘会得到一个新的矩阵，这个新矩阵的维度（4×5矩阵 乘 5×6矩阵）
结果为4×6矩阵。
AB运算过程为：对于每一个结果矩阵中数Cij，找到A中的第i行，和B中的第j列，找到对应元素后，相乘再相加。
矩阵乘法不满足交换律。AB=BA
矩阵乘法满足结合律。(AB)C=A(BC)
2.特殊矩阵
方块矩阵：
即方阵，在三维渲染里最常使用的就是3×3、4×4的矩阵。
对角元素：指的是方阵中行号与列号相等的元素。
对角矩阵：一个方阵中除了对角元素外都是0，那么这样的方阵佳作对角方阵。
单位矩阵：
对角元素都是1的对角矩阵是单位矩阵，任何矩阵与之相乘结果不变。
转置矩阵：
转置矩阵是对原矩阵的一种运算，即转置运算（A右上角T代表A的转置）。
性质1：矩阵转置的转置等于原矩阵.
性质2：矩阵串接的转置等于反向串接各个矩阵的转置。
（AB）.T=B.T A.T (.T意为字母右上角)
逆矩阵：
只有方阵才有逆矩阵。
原矩阵与逆矩阵相乘为1。
逆矩阵用右上角-1来表示。
一个矩阵有逆矩阵那么这个矩阵是可逆的、非奇异的。
逆矩阵的判断和求法可以使用库。
性质1：逆矩阵的逆矩阵是矩阵本身。
性质2：单位矩阵的逆矩阵是他本身。
性质3：转置矩阵的逆矩阵是逆矩阵的转置。
性质4：矩阵串接相乘后的逆矩阵等于反向串接各个矩阵的逆矩阵。
正交矩阵：
指一个方阵和他的转置矩阵的乘积是单位矩阵。那么这个矩阵被称为是正交的。
也就是说，如果一个矩阵是正交的，那么它的转置矩阵和逆矩阵是一样的。
即---- M.T=M.-1
在三维变换中，我们经常会使用逆矩阵来求解反向变换，所以我们可能会利用正交矩阵的身份通过转置矩阵来获得。
那么该如何判断一个矩阵是否为正交矩阵：
条件1：矩阵的每一行，即内部矢量元素都是单位矢量。
条件2：矩阵的每一行，即各个矢量元素之间需要相互垂直。
条件3：上面两条件对矩阵的每一列矢量元素同样适用。
正交矩阵的转置也是正交矩阵。、
标准正交基可以精确的满足上述条件。
正交基：坐标空间中需要存在的基矢量，坐标轴，并且这些基矢量相互垂直。
标准正交基：当这些基矢量的长度为1。
当使用矢量与矩阵相乘时，需要考虑矢量与矩阵的位序问题。
因为矩阵乘法是有条件满足才可以相乘的。（几行几列）
Unity中常规做法是把矢量放在矩阵右侧，把矢量转换为列矩阵来计算。
例如 : CBAv=(C(B(Av)))，阅读顺序从右到左，先将v和A，再和B、C。
几个注意的矩阵相乘特点：
AB.T=(BA.T).T
如果B是对称矩阵，行矩阵乘法和列矩阵乘法得数互为转置矩阵。
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来源：CSDN
作者：ChgMaker
链接：https://blog.csdn.net/w9503/article/details/103407218