递归算法：苹果放置问题

问题描述：

把M个苹果放在N个盘子中，允许有盘子为空，共有多少种放置的方法。1.2.1和2.1.1是同样的放置方法。

输入：

第一行是测试数据的数目Num(0<=Num<=20)。以下每行均包含2个整数M和N，以空格分开。1<=M，N<=10。

输出：

对输入的每组数据M和N，用一行输出相应的K。

样例输入：

1

7 3

样例输出：

8

问题的思考及解决：

这题的思考模式和爬楼梯有点相似，也是类似于排列组合的问题，但是又不能用排列组合的思想来处理这个问题，需要用递归的思想来处理这个放置苹果的问题。

这个题目有3个需要考虑的问题点：

1)苹果和盘子数目的大小是否影响递归的思路

2)苹果和盘子如何进行递归求解摆放的数量

3)递归终止的条件

先从第一个问题考虑：当盘子数多于苹果数时，无论怎么放置，必然会有盘子多出来的。我们假设写个函数叫PlaceApple(m,n)，返回值为放置的方法，那么当m<n时，有PlaceApple(m,n)=PlaceApple(m,m)。

那么如果m>n时，如何处理呢，此时我们会发现，在这种情况下，可能有盘子多出来，也可能没有盘子多出来。苹果放置的方法就为没有空盘子的情况和有空盘子的情况的总和，即为：PlaceApple(m,n)=PlaceApple(m, n - 1) + PlaceApple(m - n, n)。PlaceApple(m, n - 1)为空置1个盘子时的放置方法数，继续递归求解PlaceApple(m, n - 1)，可以将所有有空盘子的放置方法求解出。PlaceApple(m - n, n)为没有空盘子的情况的放置方法：先将n个盘子放上一个苹果，然后再随意放置m-n个苹果。二者相加，即为我们要求解的苹果放置的总数。这一步是本题的核心步骤。

最后考虑一下递归的终止条件。首先，盘子和苹果数肯定不能为负数，最小的情况为0。当盘子的数量为0时，无论有几个苹果，均无法放置，即当n=0时，放置的方法为0个。当苹果数为0时，则当前的放置方式是唯一的，即放置方法为1。递归式中有PlaceApple(m - n, n)，当m<n时，我们会返回PlaceApple(m,m)，所以在PlaceApple(m - n, n)中，m-n必然是>=0的，所以在进行递归终止条件判断时，我们把m和n设置为与0比较即可。

代码

#include <iostream>
using namespace std;

int PlaceApple(int m, int n)//m为苹果数，n为盘子数
{
	if (n > m)//当盘子数大于苹果数时，则必有盘子为空的
		return PlaceApple(m, m);
	if (m == 0)
		return 1;
	if (n == 0)
		return 0;
	return
		PlaceApple(m, n - 1) + PlaceApple(m - n, n);//苹果的总数为：有盘子为空的放法+没盘子为空的放法
}

void main()
{
	int Num, m, n;
	cin >> Num;
	while (Num--)
	{
		cin >> m >> n;
		cout << PlaceApple(m, n) << endl;
	}
}

来源：CSDN

作者：Crazy_Tommy

链接：https://blog.csdn.net/qq_35454197/article/details/104104535