树上倍增：求LCA(u,v)

求LCA(u，v)的三种方法：
1：rmq+dfs()序
2：并查集+dfs()
3：树上倍增

然而听说1，2两种方法不怎么火热，3是目前最受欢迎的，故我就跟随大众潮流，学了树上倍增求LCA(u，v)的方法

树上倍增：利用了rmq的思想，首先定义一个pre[i][j]数组，pre[i][j] 表示 i 往上走 2^j 层所表示的父辈，根据倍增关系，我们可以得到：pre[i][j]=pre[pre[i][j-1]][j-1]，然后我们利用dfs()处理每一个点的深度：

depth[u]=depth[fa]+1

并根节当前节点的深度，倍增u所能达到的点
代码：

void dfs(int u,int fa)//求深度
{
    depth[u]=depth[fa]+1;
    pre[u][0]=fa;
    for(int i=1; (1<<i)<=depth[u]; i++)
        pre[u][i]=pre[pre[u][i-1]][i-1];
    for(int i=head[u]; ~i; i=edge[i].nex)
    {
        int v=edge[i].to;
        if(fa!=v)
        {
            dfs(v,u);
        }
    }
}

LCA：
LCA利用倍增后的数组进行二进制拆分，当depth[u]，depth[v]不相同时,让depth[u]，depth[v]相同，如果u==v说明最近公共最祖先时u，如果不相等，就在同一深度进行二进制差分式倍增，然后最终得到pre[u][0]是最近公共祖先

例题：洛谷LCA模板题

AC代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
//树上倍增求LCA
const int maxn=5e5+5;
//vector<int>vec[maxn];
struct node
{
    int to,nex;
}edge[maxn*2];
int pre[maxn][32],depth[maxn],head[maxn];
int n,q,root,cnt;
void add(int u,int v)
{
    edge[cnt].to=v;
    edge[cnt].nex=head[u];
    head[u]=cnt++;
}
void dfs(int u,int fa)//求深度
{
    depth[u]=depth[fa]+1;
    pre[u][0]=fa;
    for(int i=1; (1<<i)<=depth[u]; i++)
        pre[u][i]=pre[pre[u][i-1]][i-1];
    for(int i=head[u]; ~i; i=edge[i].nex)
    {
        int v=edge[i].to;
        if(fa!=v)
        {
            dfs(v,u);
        }
    }
}
int lca(int u,int v)
{
    if(depth[u]<depth[v])
        swap(u,v);//让u的深度大
    int i=-1,j;
    while((1<<(i+1))<=depth[u])//从u跨到根节点的跨度
        i++;
    for(j=i; j>=0; j--) //同一水平
    {
        if(depth[u]-(1<<j)>=depth[v])
        {
            u=pre[u][j];
        }
    }
    if(u==v)
    {
        return u;
    }
    for(j=i; j>=0; j--)
    {
        if(pre[u][j]!=pre[v][j])
        {
            u=pre[u][j];
            v=pre[v][j];
        }
    }
    return pre[u][0];
}
int main()
{
    memset(head,-1,sizeof(head));
    scanf("%d %d %d",&n,&q,&root);
    for(int i=1; i<n; i++)
    {
        int u,v;
        scanf("%d %d",&u,&v);
        add(u,v);
        add(v,u);
    }
    dfs(root,0);
    while(q--)
    {
        int u,v;
        scanf("%d %d",&u,&v);
        printf("%d\n",lca(u,v));
    }
}

来源：CSDN

作者：Vain_拾荒者

链接：https://blog.csdn.net/yangzijiangac/article/details/103794139