莫比乌斯反演

莫比乌斯函数线性筛：

const int maxm=1e6+5;
int notprime[maxm];
int prime[maxm],cnt;
int mob[maxm];
void Minit(){
    mob[1]=1;
    for(int i=2;i<maxm;i++){
        if(!notprime[i]){//如果是素数
            prime[cnt++]=i;
            mob[i]=-1;
        }
        for(int j=0;j<cnt;j++){
            if(prime[j]*i>=maxm)break;
            notprime[prime[j]*i]=1;
            mob[prime[j]*i]=i%prime[j]?-mob[i]:0;
            if(i%prime[j]==0)break;
        }
    }
}

莫比乌斯函数性质：

μ是莫比乌斯函数
1.∑μ(d) = [n==1] (d|n，即d是n的因子)
2. ∑(μ(d)/d) = (ϕ(n)/n) (d|n，ϕ是欧拉函数)，这个性质把莫比乌斯函数和欧拉函数联系起来了

莫比乌斯反演：

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P2257 YY的GCD

题意：

给N,M，求有多少对1<=x<=N，1<=y<=M，满足gcd(x,y)=素数

思路:

code:

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxm=1e7+5;
int notprime[maxm];
int prime[maxm],cnt;
int mu[maxm];
int f[maxm];
long long sum[maxm];
void init(){
    //预处理莫比乌斯函数
    mu[1]=1;
    for(int i=2;i<maxm;i++){
        if(!notprime[i]){
            prime[cnt++]=i;
            mu[i]=-1;
        }
        for(int j=0;j<cnt;j++){
            if((long long)prime[j]*i>=maxm)break;
            notprime[prime[j]*i]=1;
            mu[prime[j]*i]=i%prime[j]?-mu[i]:0;
            if(i%prime[j]==0)break;
        }
    }
    //预处理sum[k]=∑mu(k/n)
    for(int j=0;j<cnt;j++){
        for(int i=1;prime[j]*i<maxm;i++){
            sum[prime[j]*i]+=mu[i];
        }
    }
    //计算sum[]的前缀和f[],整除分块的时候要用
    for(int i=1;i<maxm;i++){
        f[i]=f[i-1]+sum[i];
    }
}
signed main(){
    init();
    int T;
    cin>>T;
    while(T--){
        int n,m;
        cin>>n>>m;
        if(n>m)swap(n,m);
        long long ans=0;
        for(int l=1,r;l<=n;l=r+1){
            r=min(n/(n/l),m/(m/l));
            ans+=(long long)(n/l)*(m/l)*(f[r]-f[l-1]);
        }
        cout<<ans<<endl;
    }
    return 0;
}

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来源：CSDN

作者：我可以吗？

链接：https://blog.csdn.net/weixin_44178736/article/details/104080771