平面极坐标系下质点的运动方程

一、平面极坐标系定义

1. 定义

在参考系上取一点 $O$ 称为极点，由 $O$ 点引一有刻度的射线，称之为极轴，即构成极坐标系。

2. 极坐标系

质点的位置 $P$ 由极径 $\rho$ 和幅角 $\theta$ 给出。如下图所示。

$\rho$ ：极径，极点到质点的距离
$\theta$：幅角或极角，极径与极轴的夹角，规定角度取逆时针方向为正

3. 正交单位矢量

• 径向单位矢量 $\bm{i}$ ：方向从极点指向质点。则矢径 $\bm{r} = \rho \bm{i}$。
• 横向单位矢量 $\bm{j}$ ：方向与径向单位矢量垂直，且指向 $\theta$ 增加的方向。

4. 正交单位矢量对时间 t 的导数的计算

设初始时刻质点位置为$P_{1}$，经过时间$dt$，质点位置为$P_{2}$，幅角变化量为$d\theta$。如下图所示。

4.1 径向单位矢量$\bm{i}$

经过时间$dt$，径向单位矢量由$\bm{i}_{1}$变化到$\bm{i}_{2}$，转过的角度为$d\theta$。
$d\bm{i}=\bm{i}_{2}-\bm{i}_{1}$

由于$\bm{i}$为单位矢量，且$dt$为趋于$0$的微元。所以$d\bm{i}$的大小即为以$|\bm{i}|$为半径，角度为$d\theta$所对应的弧长（单位矢量$\bm{i}$从$\bm{i}_{1}$旋转到$\bm{i}_{2}$时，箭头末端所经过的路程），其大小为：
$|d\bm{i}|=|\bm{i}|\cdot d\theta=d\theta$

$d\bm{i}$的方向为从$\bm{i}_{1}$的末端指向$\bm{i}_{2}$的末端，当$dt$趋于$0$时，$d\bm{i}$的方向垂直于$\bm{i}$并且指向$\theta$的增加方向，所以$d\bm{i}$与$\bm{j}$同向。即：
$d\bm{i}=\bm{j}d\theta$

对时间的导数为
$\frac{d\bm{i}}{dt}=\bm{j}\frac{d\theta}{dt}$

4.2 横向单位矢量$\bm{j}$

同理，经过时间$dt$，横向单位矢量由$\bm{j}_{1}$变化到$\bm{j}_{2}$，转过的角度为$d\theta$。
$d\bm{j}=\bm{j}_{2}-\bm{j}_{1}$

其大小为
$|d\bm{j}|=|\bm{j}|\cdot d\theta=d\theta$

其方向与径向单位矢量$\bm{i}$反向，所以横向单位矢量对时间的导数为
$\frac{d\bm{j}}{dt}=-\bm{i}\frac{d\theta}{dt}$

二、极坐标系下运动方程

• 运动学方程：$r=r(t)$,$\hspace{0.3cm}$ $\theta=\theta (t)$
• 质点位置矢量：$\bm{r}=\bm{r}(t)$
• 质点轨迹方程：$r=r(\theta)$

三、极坐标系中的速度

在极坐标系中
$\bm{r}=\rho \bm{i}$

速度
$\bm{v}=\frac{d\bm{r}}{dt}=\frac{d(\rho \bm{i})}{dt}=\frac{d\rho}{dt}\bm{i}+\rho \frac{d\bm{i}}{dt}$

又
$\frac{d\bm{i}}{dt}=\bm{j}\frac{d\theta}{dt}$

所以
$\bm{v}=\frac{d\rho}{dt}\bm{i}+\rho \frac{d\theta}{dt}\bm{j}=v_{r}\bm{i}+v_{\theta}\bm{j}$

• 径向速度$v_{r}=\frac{d\rho}{dt}$，由位矢的量值变化所引起的；
• 横向速度$v_{\theta}=\rho \frac{d\theta}{dt}$，由位矢方向的变化所引起的，其中$\omega=\frac{d\theta}{dt}$为角速度。

总的速度大小
$|\bm{v}|=\sqrt{v_{r}^{2}+v_{\theta}^{2}}=\sqrt{(\frac{d\rho}{dt})^{2}+(\rho \frac{d\theta}{dt})^{2}}$

四、极坐标系中的加速度

由加速度定义
$\bm{a}=\frac{d\bm{v}}{dt}=\frac{d}{dt}(\frac{d\rho}{dt}\bm{i}+\rho \frac{d\theta}{dt}\bm{j})$

其中
$\frac{d}{dt}(\frac{d\rho}{dt}\bm{i})=\frac{d^2 \rho}{dt^2}\bm{i}+\frac{d\rho}{dt}\frac{d\bm{i}}{dt}=\frac{d^2 \rho}{dt^2}\bm{i}+\frac{d\rho}{dt}\frac{d\theta}{dt}\bm{j}$

$\frac{d}{dt}(\rho \frac{d\theta}{dt}\bm{j})=\frac{d\rho}{dt}\frac{d\theta}{dt}\bm{j}+\rho \frac{d^2 \theta}{dt^2}\bm{j}+\rho \frac{d\theta}{dt}\frac{d\bm{j}}{dt}=\frac{d\rho}{dt}\frac{d\theta}{dt}\bm{j}+\rho \frac{d^2 \theta}{dt^2}\bm{j}-\rho (\frac{d\theta}{dt})^2 \bm{i}$

由此可得
$\bm{a}=[\frac{d^2 \rho}{dt^2}-\rho (\frac{d\theta}{dt})^2]\bm{i}+[\rho \frac{d^2 \theta}{dt^2}+2\frac{d\rho}{dt}\frac{d\theta}{dt}]\bm{j}=a_{r}\bm{i}+a_{\theta}\bm{j}$

来源：CSDN

作者：不入流的IT宅男

链接：https://blog.csdn.net/Function_RY/article/details/103753622