前言

MapReduce 是 Google 大数据处理的三驾马车之一，另外两个是 GFS 和 Bigtable。MapReduce在倒排索引、PageRank 计算、网页分析等搜索引擎相关的技术中都有大量的应用。尽管开发一个 MapReduce 看起来很高深，感觉跟我们遥不可及。实际上，万变不离其宗，它的本质就是分治算法。

如何理解分治算法？

分治算法（divide and conquer）的核心思想其实就四个字：分而治之 ，也就是将原问题划分成 n 个规模较小，并且结构与原问题相似的子问题，递归地解决这些子问题，然后再合并其结果，就得到原问题的解。这个定义看起来有点类似递归的定义。关于分治和递归的区别，我们只要记住一点，分治算法是一种处理问题的思想，而递归是一种编程技巧。实际上，分治算法一般都比较适合用递归来实现。分治算法的递归实现中，每一层递归都会涉及这样三个操作：

分解：将原问题分解成一系列子问题；
解决：递归地求解各个子问题，若子问题足够小，则直接求解；
合并：将子问题的结果合并成原问题。

分治算法能解决的问题，一般需要满足下面这几个条件：

原问题与分解成的小问题具有相同的模式；
原问题分解成的子问题可以独立求解，子问题之间没有相关性，这一点是分治算法跟动态规划的明显区别；
具有分解终止条件，也就是说，当问题足够小时，可以直接求解；
可以将子问题合并成原问题，而且这个合并操作的复杂度不能太高，否则就起不到减小算法总体复杂度的效果了。

分治算法实战分析

1.求一组数据的逆序对个数

还记得在排序算法里的数据的有序度、逆序度的概念吗？我们用有序度来表示一组数据的有序程度，用逆序度表示一组数据的无序程度。假设我们有 n 个数据，我们期望数据从小到大排列，那完全有序的数据的有序度就是 n(n-1)/2，逆序度等于 0；相反，倒序排列的数据的有序度就是 0，逆序度是 n(n-1)/2。除了这两种极端情况外，我们通过计算有序对或者逆序对的个数，来表示一组数据的有序度或逆序度。
在这里插入图片描述
现在的问题是，如何编程求出一组数据的有序对个数或者逆序对个数呢？因为有序对个数和逆序对个数的求解方式是类似的，所以只要掌握了逆序对个数的求解方法，对于有序对个数的求解只要稍加变形即可。

关于这个问题，最笨的方法是，拿每个数字跟它后面的数字依次比较，看有几个比它小的。我们把比它小的数字个数记作 k，通过这样的方式，把每个数字都考察一遍之后，然后对每个数字对应的 k 值求和，最后得到的总和就是逆序对个数。不过，这样操作的时间复杂度是 O(n²)。那有没有更加高效的处理方法呢？

我们套用分治的思想来求数组 A 的逆序对个数，我们可以将数组分成前后两半 A1 和 A2，分别计算 A1 和 A2 的逆序对个数 K1 和 K2，然后再计算 A1 与 A2 之间的逆序对个数 K3。那数组 A 的逆序对个数就等于 K1+K2+K3。前面讲过，使用分治算法其中一个要求是：子问题合并的代价不能太大，否则就起不了降低时间复杂度的效果了。那回到这个问题，如何快速计算出两个子问题 A1 与 A2 之间的逆序对个数呢？这里就要借助归并排序算法了。

归并排序中有一个非常关键的操作，就是将两个有序的小数组，合并成一个有序的数组。实际上，在这个合并的过程中，我们就可以顺便计算这两个小数组之间的逆序对个数了。每次合并操作，我们都计算逆序对个数，把这些计算出来的逆序对个数求和，就是这个数组的逆序对个数了。
在这里插入图片描述
把这个过程翻译成了代码如下

private int num = 0; // 全局变量或者成员变量

public int count(int[] a, int n) {
  num = 0;
  mergeSortCounting(a, 0, n-1); //对数组a归并排序
  return num;
}

private void mergeSortCounting(int[] a, int low, int high) {
  if (low >= high) return;
  int middle = (low + high)/2; 
  mergeSortCounting(a, low, middle); //递归调用归并排序算法
  mergeSortCounting(a, middle+1, high); //递归调用归并排序算法
  merge(a, low, middle, high); //合并
}

private void merge(int[] a, int low, int middle, int high) {
  int i = low, j = middle+1, k = 0;
  int[] tmp = new int[high-low+1];
  while (i<=middle && j<=high) {
    if (a[i] <= a[j]) {
      tmp[k++] = a[i++];
    } else {
      num += (middle-i+1); // 统计low 和 middle之间比a[j]大的元素个数，即为两个待合并的小数组之间的逆序数
      tmp[k++] = a[j++];
    }
  }
  while (i <= middle) { // 处理剩下的
    tmp[k++] = a[i++];
  }
  while (j <= high) { // 处理剩下的
    tmp[k++] = a[j++];
  }
  for (i = 0; i <= high-low; ++i) { // 从tmp拷贝回a
    a[low+i] = tmp[i];
  }
}

2.计算出两个距离最近的点对

二维平面上有 n 个点，如何快速计算出两个距离最近的点对？

3.快速求解两个矩阵的乘积

有两个 n * n 的矩阵 A，B，如何快速求解两个矩阵的乘积 C=A * B？

分治思想在海量数据处理中的应用

分治算法思想的应用是非常广泛的，并不仅限于指导编程和算法设计。它还经常用在海量数据处理的场景中。前面讲的很多数据结构和算法，大部分都是基于内存存储和单机处理。但是，如果要处理的数据量非常大，没法一次性放到内存中，这个时候，这些数据结构和算法就无法工作了。比如，给 10GB 的订单文件按照金额排序这样一个需求，看似是一个简单的排序问题，但是因为数据量大，有 10GB，而我们的机器的内存可能只有 2、3GB 这样子，无法一次性加载到内存，也就无法通过单纯地使用快排、归并等基础算法来解决了。

要解决这种数据量大到内存装不下的问题，我们就可以利用分治的思想。我们可以将海量的数据集合根据某种方法，划分为几个小的数据集合，每个小的数据集合单独加载到内存来解决，然后再将小数据集合合并成大数据集合。实际上，利用这种分治的处理思路，不仅仅能克服内存的限制，还能利用多线程或者多机处理，加快处理的速度。

回到刚刚举的那个例子，给 10GB 的订单排序，我们就可以先扫描一遍订单，根据订单的金额，将 10GB 的文件划分为几个金额区间。比如订单金额为 1 到 100 元的放到一个小文件，101 到 200 之间的放到另一个文件，以此类推。这样每个小文件都可以单独加载到内存排序，最后将这些有序的小文件合并，就是最终有序的 10GB 订单数据了。

如果订单数据存储在类似 GFS 这样的分布式系统上，当 10GB 的订单被划分成多个小文件的时候，每个文件可以并行加载到多台机器上处理，最后再将结果合并在一起，这样并行处理的速度也加快了很多。不过，这里有一个点要注意，就是数据的存储与计算所在的机器是同一个或者在网络中靠得很近（比如一个局域网内，数据存取速度很快），否则就会因为数据访问的速度，导致整个处理过程不但不会变快，反而有可能变慢。

解答开篇：为什么说 MapReduce 的本质就是分治思想？

刚刚举的那个关于订单的例子，数据有 10GB 大小，那如果我们要处理的数据是 1T、10T、100T 这样子的，那一台机器处理的效率肯定是非常低的。而对于谷歌搜索引擎来说，网页爬取、清洗、分析、分词、计算权重、倒排索引等等各个环节中，都会面对如此海量的数据（比如网页）。所以，利用集群并行处理显然是大势所趋。一台机器过于低效，那我们就把任务拆分到多台机器上来处理。如果拆分之后的小任务之间互不干扰，可独立计算，最后再将结果合并。这不就是分治思想吗？

实际上，MapReduce 框架只是一个任务调度器，底层依赖 GFS 来存储数据，并依赖 Borg 管理机器。它从 GFS 中拿数据，交给 Borg 中的机器执行，并且时刻监控机器执行的进度，一旦出现机器宕机、进度卡壳等，就重新从 Borg 中调度一台机器执行。

尽管 MapReduce 的模型非常简单，但是在 Google 内部应用非常广泛。它可以用来处理这种数据与数据之间存在关系的任务，比如 MapReduce 的经典例子：统计文件中单词出现的频率。除此之外，它还可以用来处理数据与数据之间没有关系的任务，比如对网页分析、分词等，每个网页可以独立的分析、分词，而这两个网页之间并没有关系。网页几十亿、上百亿，如果单机处理，效率低下，我们就可以利用 MapReduce 提供的高可靠、高性能、高容错的并行计算框架，并行地处理这几十亿、上百亿的网页。

小结

一、如何理解分治算法
1，分治算法的核心思想其实就四个字：分而治之，将原问题划分成n个规模较小，并且结构与原问题相似的子问题，递归地解决这些子问题，然后在合并其结果，就得到原问题的解。
2，分治算法的定义类似于递归，但区别在于：分治算法是一种处理问题的思想，递归是一种编程技巧。
3，分治算法一般都比较适合递归来实现，分治算法的递归实现中，每一层递归都会涉及这样的三个操作：
（1）分解：将原问题分解成一系列子问题；
（2）解决：递归地求解各个子问题，若子问题足够小，则直接求解；
（3）合并：将子问题的结果合并成原问题；
4，分治算法能解决的问题，一般需要满足下面这几个条件：
（1）原问题与分解成的小问题具有相同的模式；
（2）原问题分解成的子问题可以独立求解，子问题之间没有相关性，这一点是分治算法跟动态规划的明显区别
（3）具有分解终止条件，即当问题足够小时，可以直接求解。
（4）可以将子问题合并成原问题，而这个操作的复杂度不能太高，否则就起不到减小算法总体复杂度的效果

二、分治思想应用实例
1.快速排序算法
2.合并排序算法
3.桶排序算法
4.基数排序算法
5.二分查找算法
6.利用递归树求解算法复杂度的思想
7.分布式数据库利用分片技术做数据处理
8.MapReduce模型处理思想