想要理解数学空间和希尔伯特空间，我们的思路是：
现代数学——>集合——>线性空间（向量空间）及基的概念——>赋范空间——>內积空间——>希尔伯特空间
于是，我们想要理解希尔伯特空间，首先需要从距离开始，然后说说线性空间，到范数空间，再到內积空间，最后一直到欧式空间，希尔伯特空间和巴拿赫空间。
现代数学最大的特点就是以集合为研究对象，将不同问题的本质抽取出来，变成同一类问题。而集合分为两种：有线性结构的集合（线性空间/向量空间）；以及有度量结构的集合（度量空间）。要说欧式空间和希尔伯特空间，则主要说线性空间。线性空间则需要从基的概念、及距离说起，再到內积空间和希尔伯特空间：
（1）基：线性空间主要是研究集合的描述，为了将集合描述清楚，则引入和基的概念，相当于引入了三维空间。所以要描述线性空间只需要知道基即可，而要知道线性空间中的元素，则只需要知道基及对应的坐标即可。
（2）距离：但即使是引入了基的概念，也只能认为元素是三维空间的一个线段，没有长度。为了量化元素，于是引入范数的概念，用于给元素赋予特殊的“长度”。此时被赋予了范数的线性空间（向量空间）就是赋范线性空间。
（3）內积空间：到了赋范线性空间，元素有了长度但没有角度。为了解决这个问题。于是引入了內积的概念，进行了內积运算的线性赋范空间则是內积空间。
函数的內积：
1）条件：对称性；第一元的线性性质（即<ax,y>=a<x,y>）；正定性
2）函数的內积：可以理解为将函数按照x进行过采样——>得到一个函数的向量表示：
(f(x0),f(x1),f(x2),⋯,f(xn))
当然，采样间隔变为无穷小时，函数就可以看作是一个无穷维的向量表示：
<f,g>=∫f(x)g(x)dx
3）也可以用泰勒级数和傅里叶级数展开来看待內积：
泰勒级数的概念：用{xi}∞0作为基底表示的一个空间
傅里叶级数展开：将一个函数用三角函数的形式进行无穷维的展开
4）由內积可以导出范数，但范数不能导出內积：原因是||x||2=<x,x>
（4）希尔伯特空间：內积空间的元素则既有长度也有角度可以被度量，可以引入极限的概念。但是抽象空间的极限与实数空间不同，为了确定极限来自于集合，于是引入完备性概念。完备的内积空间就是希尔伯特空间。
更高级的内容都是基于距离，在距离上施加不同约束条件形成的：
1）距离 ——>范数——>內积
2）內积向量+范数——>赋范空间
3）赋范空间+线性结构——>线性赋范空间（线性的赋范空间也是度量空间（有线性结构的度量空间））
4）线性赋范空间+內积运算——>內积空间（內积空间是赋范空间加上角度的概念）
5）內积空间+完备性——>希尔伯特空间（希尔伯特空间是完备的内积空间）
除了希尔伯特空间，数学空间还有欧式空间、巴拿赫空间、拓扑概念等，这里不做详细说明，但给出基本逻辑：：
1）內积空间+有限维——>欧几里得空间
2）赋范空间+完备性——>巴拿赫空间
3）距离——>弱化（只保留极限和连续概念）——>拓扑概念
另外还有需要注意的一个地方是：线性空间与度量空间是两个独立的概念。
来源：https://www.cnblogs.com/changchunlai/p/9247316.html