二叉树遍历是二叉树中最基本的问题，其实现的方法非常多，有简单粗暴但容易爆栈的递归算法，还有稍微高级的使用栈模拟递归的非递归算法，另外还有不用栈而且只需要常数空间和线性时间的神奇Morris遍历算法，本文将对这些算法进行讲解和实现。
递归算法
二叉树节点使用以下数据结构进行表示，包括关键字、左儿子、右儿子属性和一个带默认参数的构造函数。
struct成员的默认属性为public，于是可以直接访问。
struct Node
{
int val;
Node *left, *right;
Node(int v = 0, Node *l = NULL, Node *r = NULL) : val(v), left(l), right(r) {}
};
二叉树的递归算法非常简单，设置好递归出口之后，根据遍历的顺序，对当前节点的左右子递归调用自身即可。其前序、中序、后序遍历的代码如下。
void preorder1(Node *root) //递归前序遍历
{
if (root == NULL) return;
printf("%d ", root->val);
preorder1(root->left);
preorder1(root->right);
}
void inorder1(Node *root) //递归中序遍历
{
if (root == NULL) return;
inorder1(root->left);
printf("%d ", root->val);
inorder1(root->right);
}
void postorder1(Node *root) //递归后序遍历
{
if (root == NULL) return;
postorder1(root->left);
postorder1(root->right);
printf("%d ", root->val);
}
栈模拟非递归算法
递归算法的本质是利用函数的调用栈进行，实际上我们可以自行使用栈来进行模拟，这样的算法空间复杂度为O(h)，h为二叉树的高度。
前序遍历
首先把根节点入栈，然后在每次循环中执行以下操作：
- 此时栈顶元素即为当前的根节点，弹出并打印当前的根节点。
- 把当前根节点的右儿子和左儿子分别入栈（注意是右儿子先入栈左儿子后入栈，这样的话下次出栈的元素才是左儿子，这样才符合前序遍历的顺序要求：根节点->左儿子->右儿子）。
下面是代码实现。
void preorder2(Node *root)//非递归前序遍历
{
if (root == NULL) return;
stack<Node *> stk;
stk.push(root);
while (!stk.empty())
{
Node *p = stk.top(); stk.pop();
printf("%d ", p->val);
if (p->right) stk.push(p->right);
if (p->left) stk.push(p->left);
}
}
后序遍历
因为后序遍历的顺序是：左子树->右子树->根节点，于是我们在前序遍历的代码中，当访问完当前节点后，先把当前节点的左子树入栈，再把右子树入栈，这样最终得到的顺序为：根节点->右子树->左子树，刚好是后序遍历倒过来的版本，于是把这个结果做一次翻转即为真正的后序遍历。而翻转可以通过使用另外一个栈简单完成，这样的代价是需要两个栈，但就复杂度而言，空间复杂度仍然是O(h)。
void postorder2(Node *root)//非递归后序遍历
{
if (root == NULL) return;
stack<Node *> stk, stk2;
stk.push(root);
while (!stk.empty())
{
Node *p = stk.top(); stk.pop();
stk2.push(p);
if (p->left) stk.push(p->left);
if (p->right) stk.push(p->right);
}
while(!stk2.empty())
{
printf("%d ", stk2.top()->val);
stk2.pop();
}
}
中序遍历
中序遍历稍微复杂，使用一个指针p指向下一个待访问的节点，p初始化为根节点。在每次循环中执行以下操作：
- 如果p非空，则把p入栈，p变为p的左儿子。
- 如果p为空，说明已经向左走到尽头了，弹出当前栈顶元素，进行访问，并把p更新为其右儿子。
下面是代码实现。
void inorder2(Node *root)//非递归中序遍历
{
stack<Node *> stk;
Node *p = root;
while (p != NULL || !stk.empty())
{
if (p != NULL)
stk.push(p), p = p->left;
else
{
p = stk.top(); stk.pop();
printf("%d ", p->val);
p = p->right;
}
}
}
Morris遍历
Morris遍历的神奇之处在于它是非递归的算法，但并不需要额外的O(h)的空间，而且复杂度仍然是线性的。这样的算法最关键的问题是当访问完一棵子树后，如何回到其对于的根节点再继续访问右子树呢？Morris是通过修改二叉树某些节点的指针来做到的。
中序遍历
按照定义，在中序遍历中，对于一棵以root为根的二叉树，当访问完root的前驱节点后，需要回到root节点进行访问，然后再到root的右儿子进行访问。于是，我们可以每次访问到一棵子树时，找到它的前驱节点，把前驱节点的右儿子变为当前的根节点root，这样当遍历完前驱节点后，可以顺着这个右儿子回到根节点root。
但问题是修改了该前驱节点的右儿子后什么时候再改回来呢？
- 当第一次访问以root为根的子树时，找到它的前驱pre，此时pre的右儿子必定为空，于是把这个右儿子设置为root，以便以后根据这个指针回到root节点。
- 当第二次回到以root为根的子树时，再找到它的前驱pre，此时pre的右儿子已经被设置成了当前的root，这时把该右儿子重新设置成NULL，然后继续进行root的右儿子的遍历。于是完成了指针的修改。
在这样的情景下，寻找当前节点的前驱节点时，不仅需要判断其是否有右儿子，而且还要判断右儿子是否为当前的root节点，跟普通情况下的寻址前驱节点稍微多了一个条件。
由于在每次遍历一个节点的时候都需要寻找其前驱节点，而寻找前驱节点的时间一般与树的高度相关，这样看上去算法的复杂度应该为O(nlogn)才对。但由于其只需要对有左儿子的节点才寻找前驱，于是所有寻找前驱时走过的路加起来至多为一棵树的节点数，例如在下文的例子中，只需要对以下节点寻找前驱：
- 节点4：寻找路径为：2-3
- 节点2：寻找路径为：1
- 节点6：寻找路径为：5
于是寻找前驱加上遍历的运算量之和至多为2*n，n为节点个数，于是算法的复杂度为仍然为O(n)。
其实现代码如下：
void inorder3(Node *root)//Morris中序遍历
{
Node *p = root;
while (p != NULL)
{
if (p->left == NULL)
printf("%d ", p->val), p = p->right;
else
{
Node *pre = p->left;
while (pre->right != NULL && pre->right != p)
pre = pre->right;
if (pre->right == NULL) //第一次访问，修改pre的右儿子
pre->right = p, p = p->left;
else //第二次访问，改回pre的右儿子
pre->right = NULL, printf("%d ", p->val), p = p->right;
}
}
}
前序遍历
前序遍历和中序遍历类似，只是在遍历过程中访问节点的顺序稍有不同。即在第一次访问一棵子树时，就要先对根节点进行访问，于是printf输出语句被放到了if判断中第一次访问的分支中。
其代码如下：
void preorder3(Node *root)//Morris前序遍历
{
Node *p = root;
while (p != NULL)
{
if (p->left == NULL)
printf("%d ", p->val), p = p->right;
else
{
Node *pre = p->left;
while (pre->right != NULL && pre->right != p)
pre = pre->right;
if (pre->right == NULL) //第一次访问，修改pre的右儿子
pre->right = p, printf("%d ", p->val), p = p->left;
else //第二次访问，改回pre的右儿子
pre->right = NULL, p = p->right;
}
}
}
后序遍历
后序遍历稍微复杂，但其遍历的基本顺序也是和前/中序遍历类似，只是在打印的时候做了一个翻转。考虑下文例子中的后序遍历结果：1 3 2 5 7 6 4。其可以这样进行拆分并进行解释：
- 1：最左下角的结果节点
- 3 2：节点2、3的倒序
- 5：右儿子的最左下角的节点
- 7 6 4：右边一列节点4、6、7的倒序
于是我们可以在中序遍历过程中，当第二次访问到一个节点时，把它的左儿子到它的前驱节点的路径上的节点进行翻转打印，即可得到后序遍历的结果。但这样的话根节点到最右下角那一列会访问不到，增加一个辅助节点作为新的根节点，把原有根节点作为其左儿子即可。
其实现代码如下：
void reverse(Node *p1, Node *p2)//使用right指针翻转p1到p2节点
{
if (p1 == p2) return;
Node *pre = p1, *p = p1->right;
while (true)
{
Node *tem = p->right;
p->right = pre;
if (p == p2) break;
pre = p, p = tem;
}
}
void print(Node *p1, Node *p2)//逆序打印p1到p2节点
{
reverse(p1, p2);
for (Node *p = p2; ; p = p->right)
{
printf("%d ", p->val);
if (p == p1) break;
}
reverse(p2, p1);
}
void postorder3(Node *root)//Morris后序遍历
{
Node dummy(-1, root, NULL), *p = &dummy;
while (p != NULL)
{
if (p->left == NULL)
p = p->right;
else
{
Node *pre = p->left;
while (pre->right != NULL && pre->right != p)
pre = pre->right;
if (pre->right == NULL)
pre->right = p, p = p->left;
else
pre->right = NULL, print(p->left, pre), p = p->right;
}
}
}
代码测试
在下面的主函数中，我们对以下简单的二叉树进行测试。
4 / \ 2 6 / \ / \ 1 3 5 7
主函数代码如下:
#include <cstdio>
#include <stack>
using namespace std;
int main()
{
Node a1(1), a3(3), a5(5), a7(7);
Node a2(2, &a1, &a3), a6(6, &a5, &a7);
Node a4(4, &a2, &a6);
preorder1(&a4); printf("\n"); //4 2 1 3 6 5 7
preorder2(&a4); printf("\n"); //4 2 1 3 6 5 7
preorder3(&a4); printf("\n"); //4 2 1 3 6 5 7
printf("\n");
inorder1(&a4); printf("\n"); //1 2 3 4 5 6 7
inorder2(&a4); printf("\n"); //1 2 3 4 5 6 7
inorder3(&a4); printf("\n"); //1 2 3 4 5 6 7
printf("\n");
postorder1(&a4); printf("\n"); //1 3 2 5 7 6 4
postorder2(&a4); printf("\n"); //1 3 2 5 7 6 4
postorder3(&a4); printf("\n"); //1 3 2 5 7 6 4
}
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