@description@
很久很久以前,在你刚刚学习字符串匹配的时候,有两个仅包含小写字母的字符串A和B,其中A串长度为m,B串长度为n。可当你现在再次碰到这两个串时,这两个串已经老化了,每个串都有不同程度的残缺。
你想对这两个串重新进行匹配,其中A为模板串,那么现在问题来了,请回答,对于B的每一个位置i,从这个位置开始连续m个字符形成的子串是否可能与A串完全匹配?
@solution@
据说已经成了套路题。
以下内容中假定以 0 为字符串下标起点。
考虑没有通配符的情况,B 中第 j 个位置开头的串能否与 A 匹配。实际上是计算式子 \(\sum_{i=0}^{m-1}[A_i\not = B_{i+j}]\) 是否为 0。
注意到这个注意匹配的形式很像卷积。不过别急,我们先把其拆成数值计算的形式:上式为 0 等价于 \(\sum_{i=0}^{m-1}(A_i - B_{i+j})^2\)。
由完全平方的非负性可以得到等价性。
有通配符怎么办?A, B 其中一个为通配符,构造出来的式子就应该等于 0。
不妨令通配符等于 0,则计算 \(\sum_{i=0}^{m-1}(A_i - B_{i+j})^2\times A_i \times B_{i+j}\) 是否为 0 即可。
将完全平方拆开,再把 A 翻转一下就可以 fft 算了。
@accepted code@
#include <cmath> #include <cstdio> #include <vector> #include <algorithm> using namespace std; #define double long double const int MAXN = 300000*4; const double PI = acos(-1); const double EPS = 0.5; struct complex{ double r, i; complex() {} complex(double _r, double _i) : r(_r), i(_i) {} friend complex operator + (complex A, complex B) { return complex(A.r + B.r, A.i + B.i); } friend complex operator - (complex A, complex B) { return complex(A.r - B.r, A.i - B.i); } friend complex operator * (complex A, complex B) { return complex(A.r*B.r - A.i*B.i, A.i*B.r + B.i*A.r); } friend complex operator / (complex A, double k) { return complex(A.r / k, A.i / k); } }; void fft(complex *A, int n, int type) { for(int i=0,j=0;i<n;i++) { if( i < j ) swap(A[i], A[j]); for(int k=(n>>1);(j^=k)<k;k>>=1); } for(int s=2;s<=n;s<<=1) { int t = (s >> 1); complex u = complex(cos(type*2*PI/s), sin(type*2*PI/s)); for(int j=0;j<n;j+=s) { complex p = complex(1, 0); for(int k=0;k<t;k++,p=p*u) { complex x = A[j+k], y = A[j+k+t]*p; A[j+k] = x + y, A[j+k+t] = x - y; } } } if( type == -1 ) { for(int i=0;i<n;i++) A[i] = A[i] / n; } } int length(int n) { int len; for(len = 1; len < n; len <<= 1); return len; } double A[MAXN + 5], B[MAXN + 5]; complex f[MAXN + 5], g[MAXN + 5], h[MAXN + 5]; char sa[MAXN + 5], sb[MAXN + 5]; vector<int>ans; int main() { int m, n; scanf("%d%d", &m, &n); scanf("%s%s", sa, sb); for(int i=0;i<m;i++) A[m-1-i] = (sa[i] == '*' ? 0 : sa[i] - 'a' + 1); for(int i=0;i<n;i++) B[i] = (sb[i] == '*' ? 0 : sb[i] - 'a' + 1); int len = length(n + m - 1); for(int i=0;i<len;i++) f[i] = g[i] = complex(0, 0); for(int i=0;i<m;i++) f[i].r = A[i]*A[i]*A[i]; for(int i=0;i<n;i++) g[i].r = B[i]; fft(f, len, 1), fft(g, len, 1); for(int i=0;i<len;i++) h[i] = h[i] + f[i]*g[i]; for(int i=0;i<len;i++) f[i] = g[i] = complex(0, 0); for(int i=0;i<m;i++) f[i].r = A[i]*A[i]; for(int i=0;i<n;i++) g[i].r = B[i]*B[i]; fft(f, len, 1), fft(g, len, 1); for(int i=0;i<len;i++) h[i] = h[i] - f[i]*g[i] - f[i]*g[i]; for(int i=0;i<len;i++) f[i] = g[i] = complex(0, 0); for(int i=0;i<m;i++) f[i].r = A[i]; for(int i=0;i<n;i++) g[i].r = B[i]*B[i]*B[i]; fft(f, len, 1), fft(g, len, 1); for(int i=0;i<len;i++) h[i] = h[i] + f[i]*g[i]; fft(h, len, -1); for(int i=m-1;i<n;i++) { // printf("%d : %.6f %.6f\n", i, h[i].r, h[i].i); if( fabs(h[i].r) < EPS ) ans.push_back(i-m+2); } printf("%d\n", (int)ans.size()); for(int i=0;i<ans.size();i++) printf("%d%c", ans[i], i + 1 == ans.size() ? '\n' : ' '); }
@details@
fft 一大缺点就是精度损失比较大,eps 太小就会误判。。。
不过由于这道题 fft 出来肯定是整数,所以 eps 即使调到 0.5 也没有啥大问题。
感觉匹配问题如果常规字符串算法不能做,往往就可以转成卷积然后 fft 做。
来源:https://www.cnblogs.com/Tiw-Air-OAO/p/12219225.html