§6 同态和正规子群
为研究群和群之间的关系、群的性质，同态又是一个重要的性质。
定义1.6.1（同态）
设 G 和 G′ 为两个群， σ 为群 G 到 G′ 的一个映射。若 σ 适合条件：
σ(xy)=σ(x)σ(y), x,y∈G,
称 σ 为 G 到 G′ 的一个同态映射，或同态。
显见，同构是同态这一概念经过加强后的产物。同构映射必须是双射且对运算保持，而同态映射只需满足对运算保持的性质即可。故知：同构都是同态。相应地，也不难证明同态映射将单位元映到单位元、将逆元映到逆元。
定义1.6.2（象）
当 σ 为 G 到 G′ 的一个同态，常简记其为
σ:G↦G′.
若 σ:G↦G′ ，定义
σG={σ(a)∣a∈G}.
显然 σG 为 G′ 的一个子群，称其为同态 σ 的象。
定义1.6.3（满同态，单一同态、嵌入映射）
若映射 σ 是满射，则称其为满同态，若其为单射，则称为单一同态或嵌入映射。
定义1.6.4（完全反象，同态的核）
对于同态： σ:G↦G′ ，对于任一 α′∈G′，考虑集合:
{x∈G∣σ(x)=a′},
它可能是空集，也可能包含一个以上的元素，称其为元素 a′ 的完全反象，记为 σ−1(a′)。
特别地，单位元素的完全反象称为同态 σ 的核，记为 ker(σ) 。
定理1.6.1
同态的核是群 G 的子群。
证明
由 σ(e)=e′ 知： e∈ker(σ)。 若 a,b∈ker(σ)，即 σ(a)=σ(b)=e′ ，则 σ(ab−1)=σ(a)σ(b)−1=e′.
因此 ker(σ) 为 G 的一个子群。 ■
同态的核具有以下性质：
设 ker(σ)=H：
- 若 σ(a)=a′,则 σ−1(a′)=aH.
- aH=Ha，对所有的 a∈G.
定义1.6.5（正规子群）
设 H 为群 G 的子群。若对所有元素 a∈G 有 aH=Ha，则称 H 为正规子群，记为 H◃G.
根据上面的讨论可以立即得出：同态的核都是正规子群；显然，在交换群中，每个子群都是正规的。
