有理数分解-数论

风格不统一 提交于 2020-01-18 03:20:55

题目描述 Description

  任何一个[0,1]中的有理数p/q(p、q均为自然数)一定可以分解成1/r1+1/r2+1/r3+…+1/rk,且r1<r2<r3<…<rk。当然这样的分解不是唯一的,如5/6=1/2+1/3=1/2+1/5+1/8+1/120,第一个分解式中的第二项比第二个分解式中的第二项大,因此我们可以定义第一个分解式比第二个分解式大。

  程序要求找出p/q的最大分解式。

 输入输出格式 Input/output
输入格式:
键盘输入p、q,1≤p≤q≤50
输出格式:
从小到大依次输出分解式中的每个分母,一行输出一个数
 输入输出样例 Sample input/output
样例测试点#1

输入样例:

5 6
输出样例:

2 3

思路:

假设1/r是能从p/q中分解出来的最大分子为1的真分数,则1/r≤p/q<1/(r-1)①

又因为p/q-1/r=(p×r-q)/(q×r)②

根据①可知,p×(r-1)<q,所以p×r-p<q,代入②中可看出,每次待分解的分数的分子一定单调下降,所以就可以用单精度除法(高精度除以普通整数)解决本题。

注意:在输入p、q后要对分数进行化简。

 

代码如下:

 1 #include <stdio.h>
 2 int gcd(int a,int b)//求最大公约数
 3 {
 4     int r=a%b;
 5     while(r>0)
 6     {
 7         a=b;
 8         b=r;
 9         r=a%b;
10     }
11     return b;
12 }
13 int main()
14 {
15     int p,q;
16     int cm;//当前最大公约数 
17     int r;
18     scanf("%d%d",&p,&q);
19     while(p>0)
20     {
21         cm=gcd(p,q);
22         if(cm>0)
23         {
24             /*===========*///化简分数 
25             p=p/cm;
26             q=q/cm;
27             /*===========*/
28         }
29         if((q%p)>0)//如果不能分解为最终的1/rk 
30         {
31             r=q/p+1;
32         }
33         else
34         {
35             r=q/p;
36         }
37         printf("%d\n",r);
38         p=p*r-q;//减掉 
39         q=q*r;
40     }
41     return 0;
42 }

 

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