本文是通过例子学习C++的第六篇,通过这个例子可以快速入门c++相关的语法。
1.问题描述
n 个人围坐在一个圆桌周围,现在从第 s 个人开始报数,数到第 m 个人,让他出局;然后从出局的下一个人重新开始报数,数到第 m 个人,再让他出局......,如此反复直到所有人全部出局为止。
2.问题分析及用数组求解
约瑟夫环是经典的算法问题,如同“一千个读者就有一千个哈姆雷特”,该问题每个人都有不同的解答。常见的有:数组;单向循环链表;静态链表;双向链表;队列;递推公式 ......
首先简化问题,从s=1开始数,通过数组实现需要:
数组 bool a[1000],可能会浪费了大量的存储空间;
变量 t 从s=1开始数,指示当前数组的位置;
变量 f 记录出局人数;
变量 s 从1到m;
整个过程一个do-while循环即可实现,但理解起来却是非常“拗口”。
代码如下:
#include<iostream> using namespace std; int n,m,s,f,t; bool a[1000]; int main() { cin>>n>>m; //共n人,从1开始数,数到m出局 for (int i=1;i<=n;++i){ a[i]=false; } t=0;//从数组a的a[1]开始...记录数组a的第t个位置 f=0;//记录出局人数 s=0;//从1数到m,然后再从1数到m... do { ++t; if (t==n+1) t=1; //数到最后一个后,将t指向第一个 if (a[t]==false) ++s; //第t个位置上有人则报数 if (s==m) //当前报的数是m { s=0; //计数器清零 cout<<t<<" "; //出局人的编号 a[t]=true; //设置该位置已出局 f++; //出局的人数加一 } } while(f!=n); //所有的人都出局为止 return 0; }
程序运行效果如下图:
3.数组方式求解改进
下面,我们将s调整为键盘输入,即从第s个人开始报数,实现代码如下:
#include<iostream> using namespace std; int n,m,s,f,t; bool a[1000]; int main() { cin>>n>>t>>m; //共n人,从t开始数,数到m出局 cout<<endl; for (int i=1;i<=n;++i){ a[i]=false; } t = t -1; f=0;//记录出局人数 s=0;//从1数到m,然后再从1数到m... do { ++t; if (t==n+1) t=1; //数到最后一个后,将t指向第一个 if (a[t]==false) ++s; //第t个位置上有人则报数 if (s==m) //当前报的数是m { s=0; //计数器清零 cout<<t<<" "; //出局人的编号 a[t]=true; //设置该位置已出局 f++; //出局的人数加一 } } while(f!=n); //所有的人都出局为止 return 0; }
程序运行效果如下图:
4.静态链表实现约瑟夫环
静态链表,顾名思义就是用数组模拟链表。为了程序的可读性,特用一个函数表示约瑟夫环求解问题,调用的时候,只需要传入n,s,m即可。由于数组的长度n是动态生成的,故通过指针来生成数组。
实现代码如下:
#include<iostream> using namespace std; //约瑟夫环问题 void Josephus(int n,int s, int m) { cout<<n<<" "<<s<<" "<<m<<endl; int i,j,k; int *next= new int[n]; //初始化静态链表 for(i=0;i<n-1;++i){ next[i] = i+1; } next[n-1] = 0; //k初始化为s的前一个位置,数组下标从0开始 if(s==1){ k = n-1; }else{ k = s-2; } for(i=1;i<=n;++i){ //找到出局人的前驱 for(j=1;j<m;++j){ k=next[k]; } cout<<next[k]+1<<" ";//数组下标从0开始,故需要+1 //数到m的人出列,删除该元素 next[k] = next[next[k]]; } } int main(){ Josephus(9,2,5); return 0; }
程序运行后效果如下:
5.总结
本文中通过数组、静态链表实现了约瑟夫环。数组方式实现,各个元素之间的“线性关系”未在数据结构中体现,需要通过变量t、f、s来分别指示当前数组元素的位置、出局人数、计数1-m直到所有元素都“出局”为止。类似的,通过队列实现,跟数组实现逻辑上差不多。区别在于数据结构不同,但算法一样。
静态链表方式实现,各个元素之间的“线性关系”通过next指示了,只需要k遍历即可,理解起来更加直观。类似的,通过单向循环链表、双向链表实现跟静态链表实现逻辑上差不多。区别在于数据结构不同,但算法一样。
至于通过递推公式实现,从“计算机”角度看,一般难以“想到”该方法。
通过该例子,可以学习:
- 指针;
- 函数定义、调用;
- 通过优化求解约瑟夫环,加深问题的理解。
本文从构思到完成,可谓是耗费了大量的心血。
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