树状数组

一、树状数组概念

Binary Indexed Tree，用于维护前缀信息的结构，对前缀信息处理也十分高校，用于解决前缀信息问题和区间类问题。

比如：给定一个数组，实现两个函数

update(int index,int val)，将数组下标为index的元素改为val
querySum(int start,int end)，返回区间内元素和

这两个用线段树求过很多遍了。树状数组也是通过前缀和的思想来完成单点更新和区间查询。它比线段树用的空间更小，速度更快。

二、树状数组算法分析

注意：树状数组的下标从 1 开始计数。定义数组 C 是一个对原始数组 A 的预处理数组。

由原数组构造树状数组

结论：C[i]来自几个数组A中的元素:取决于i的二进制末尾有几个连续的0。比如有k个0，那么C[i]来自2^k个A中的元素。

如果i是当前位置，当前有2^k个来自A中的元素，有哪2^k个呢？就是从C[i]的正下方出发，往前数2^k个，C[i]就是这2^k个数的和。

定义一个lowbit(i) = 2^k函数，就是把下标i传到函数中来，返回2^k，lowbit表示C[i]这个数值是由A中的多少个元素相加得来的。（根据上面一段，你还能找到这几个元素是啥，从C[i]的正下方开始往前数2^k个）

怎么找父亲节点？i+lowbit(i) = 父亲比如C[4]，4的lowbit是4，它有个宽度为4的梯子，这个梯子就是它到它父亲的距离宽度。4+lowbit(4) = 8。再比如6，6的lowbit是2，6+2 = 8

三、lowbit函数

lowbit函数用到了补码相关知识。给定一个数，比如12，我们能求得它的二进制1100，如何求-12的二进制？实际上二进制前面有个符号位，正数前面符号位是0，负数前面符号位是1，12的二进制实际上是01100，那么求-12的二进制有两步

首先把符号位从0改成1，然后对12每位取反。变成10011
最后+1，即10011+1 = 10100，这就是-12的二进制

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lowbit(i) = 2^k，它就是利用了正数和负数的二进制

num & (-num) = 2^k

四、树状数组的构建、修改、查询

1、构建

把原始数组A和预处理数组C都初始化为0，每更新一个元素，都要把它的值累加到它父亲的值上面去。比如初始化A1后，要把它的值累加到它父亲C1上面去，C1接收到值后，还要把C1的值传递给C2，然后C2传递给C4，C4传递给C8，如果A1的值为10，那第一次更新完就是这个样子

再更新A2，C2就要开始累加A2的值，并传给C2的父亲们，比如A2为5，就是下面这样子

2、更新

比如我要把A1从10改为1，那么就会有一个差值delta为9，C1更新成1，然后不断传给它的父亲们继续更新。

3、查询

想要查询区间[i,j]的和，首先要查询区间[1,j]（树状数组起点从1开始的）和区间[1,i-1]的和，前者减去后者就是我们要求的答案。

这里还有个求前缀和[1,i]的公式，是推导出来的，sum(i) = sum(i - lowbit(i)) + C[i]

class BinaryIndexedTree{
        private int[] A, C; //定义原始数组A和预处理数组C

        //init
        public BinaryIndexedTree(int[] nums) {
            int n = nums.length;
            A = new int[n];
            C = new int[n + 1];

            for (int i = 0; i < n; i++) {
                update(i, nums[i]);
            }
        }

        public void update(int index, int val) {
            int delta = val - A[index]; //得到新val与原val的差值
            A[index] = val;
            /**
             * 从index+1开始，因为C数组我们定义从1开始的。
             * 每次更新完C[index+1]，还要再继续更新它的父亲。距离就是宽度lowbit(i)
             */
            for (int i = index + 1; i <= A.length; i += lowbit(i)) {
                C[i] += delta;
            }
        }

        public int querySum(int start, int end) {
            return getPrefixSum(end) - getPrefixSum(start - 1);
        }

        //获取前缀和
        public int getPrefixSum(int index) {
            int sum = 0;
            /**
             * 从正下方开始，先找到它前面2^k个的和,比如6，就是找到它前两个（包括它自身）
             * i = i - lowbit(i)意思是，找完那2^k个，下一个应该从C[4]开始找了
             */
            for (int i = index + 1; i > 0; i -= lowbit(i)) {
                sum += C[i];
            }
            return sum;
        }

        private int lowbit(int index) {
            return index & (-index);
        }
    }