时间序列学习笔记（一）

第一次写，不太会写，希望多多包涵

平稳、自协方差函数和自相关函数

平稳性

对于时间序列X₁，X₂,…,来说如果是严平稳的，则满足以下条件
对于任何t₁,…,t_k，滞后期τ和k，X_t1,…,X_t2的联合分布与X_t1+τ,…,X_tk+τ的联合分布相同。如果k=1，那么X_t的分布对所有的t都相同，且均值和方差不随t而变。

对于时间序列X₁，X₂,…,来说如果是弱平稳的，则满足以下条件
X_t的数学期望不随时间而改变，即E(X_t)=μ（μ为常数），且任何滞后期τ，X_t与X_t+τ的相关系数Cov(X_t，X_t+τ)=γ_t，即该相关系数只依赖于τ，与时间t无关。
显然，平稳时间序列的方差是一个常数，Var(X_t)=γ₀。
注意：
1.除非在某些特定的条件下，平稳性和严平稳之间并没有包含关系。
2.对于正态过程，弱平稳就意味着严平稳。

自协方差函数和自相关函数

记 $μ_t=E(X_t)，μ_s=E(X_s)$
X_t和X_s的自协方差函数（acvf） 定义为
$γ(t,s)=Cov(X_t,X_s)=E[(X_t-μ_t)(X_s-μ_s)]$
对于平稳时间序列，如果 $τ=s-t$ 即 $μ=E(X_t)=E(X_s)$ 则有自协方差函数
$γ(h)≡γ_τ≡γ(t,s)=E[(X_t-μ_t)(X_s-μ_s)]=E[(X_t-μ)(X_s-μ)]$
即平稳时间序列的自协方差函数γ_τ仅仅依赖于时间差τ，与绝对时间无关。
平稳时间序列的自相关函数（acf） 定义为
$ρ(τ)≡ρ_τ≡\frac{γ_t}{γ_0}=\frac{E[(X_t-μ)(X_s-μ)]}{Var(X~t~)}$
对于平稳序列，有
$γ_τ=Cov(X_t,X_t+τ)=Cov(X_t-τ，X_t)=γ_-τ$
自相关系数性质：
若记 $\sigma^2=Var(X_t)=\gamma_0$ 由 $\rho_\gamma=\gamma_\tau/\gamma_0=\gamma_\tau/\sigma^2$
得
$\rho_\gamma=\rho_{-\gamma}$
且 $||\rho_\gamma||\leq1(证明略)$
注意：

acf并不唯一识别背景模型，虽然一个给定的随机过程都有唯一的acf，但是一个给定的acf并不一定对应唯一的随机过程。（即使不同的正太过程也有可能有同样的acf，此时需要利用可逆性条件来证明唯一性）

如果{x_t}^T_t=1（代表x₁,x₂,…,x_T）为时间序列 {X_t}^T_t=1（代表X₁，X₂,…,X_T）的样本，滞后期τ的样本自协方差函数（sacvf） 及其样本自相关系数（sacf） 分别定义为
$\hat{γ}_τ=\frac{1}{T}\sum_{t=τ+1}^{T}(x_t-\bar{x})(x_{t-τ}-\bar{x})$
$\hat{ρ}_τ=\frac{\hat{γ}_τ}{\hat{γ}_0}$

来源：CSDN

作者：QY_yuan

链接：https://blog.csdn.net/QY_yuan/article/details/103988521

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