原文链接：https://zhuanlan.zhihu.com/p/43546261
下面讲述如何利用遗传算法解决一个二元函数的最大值求解问题。
问题
二元函数如下： 
# 画出图像如下
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D
import numpy as np
from matplotlib import pyplot as plt
fig = plt.figure(figsize=(10,6))
ax = Axes3D(fig)
x = np.arange(-10, 10, 0.1)
y = np.arange(-10, 10, 0.1)
X, Y = np.meshgrid(x, y)
Z = 0.5 - (np.sin(np.sqrt(X**2+Y**2))**2 - 0.5)/(1 + 0.001*(x**2 + y**2)**2)
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
ax.set_zlim([-1,5])
ax.plot_surface(X, Y, Z, rstride=1, cstride=1, cmap='rainbow')
plt.show()
我们任务是找到 
范围之内的最大值。
创造染色体（编码）
我们尝试为上文所述的函数 
的最大值所对应的 
和 
的值构造染色体。也就是说，要在一组二进制位中存储函数 的定义域中的数值信息。
假如设定求解的精度为小数点后6位，可以将区间[-10,10]划分为 
个子区间。若用一组二进制位形式的染色体来表示这个数值集合， 
，需要25位二进制数来表示这些解。换句话说，一个解的编码就是一个25位的二进制串。
现在，我们已经创建了一种 25 位长度的二进制位类型的染色体，那么对于任意一个这样的染色体，我们如何将其复原为[-10, 10]这个区间中的数值呢？这个很简单，只需要使用下面的公式即可：
例如 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0 和 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1 这两个二进制数，将其化为 10 进制数，代入上式，可得 -10.0 和 10.0。这意味着长度为 25 位的二进制数总是可以通过上式转化为[-10, 10]区间中的数。
个体、种群与进化
染色体表达了某种特征，这种特征的载体，可以称为“个体”。例如，我本人就是一个“个体”，我身上载有 23 对染色体，也许我的相貌、性别、性格等因素主要取决于它们。众多个体便构成“种群”。
对于所要解决的二元函数最大值求解问题，个体可采用上一节所构造的染色体表示，并且数量为2个，其含义可理解为函数f(x, y)定义域内的一个点的坐标。许多这样的个体便构成了一个种群，其含义为一个二维点集，包含于对角定点为(-10.0, -10.0)和(10.0, 10.0)的正方形区域。
也许有这样一个种群，它所包含的个体对应的函数值会比其他个体更接近于函数f(x, y)的理论最大值，但是它一开始的时候可能并不比其他个体优秀，它之所以优秀是因为它选择了不断的进化，每一次的进化都要尽量保留种群中的优秀个体，淘汰掉不理想的个体，并且在优秀个体之间进行染色体交叉，有些个体还可能出现变异。种群的每一次进化后，必定会产生一个最优秀的个体。种群所有世代中的那个最优个体也许就是函数f(x, y)的最大值对应的定义域中的点。如果种群不休止的进化，它总是能够找到最好的解。但是，由于我们的时间是有限的，有可能等不及种群的最优进化结果，通常是在得到了一个看上去还不错的解时，便终止了种群的进化。
那么，对于一个给定的种群，通常上述讲过的选择、交叉、变异来进行进化。
python实现
import math, random
class Population:
# 种群的设计
def __init__(self, size, chrom_size, cp, mp, gen_max):
# 种群信息合
self.individuals = [] # 个体集合
self.fitness = [] # 个体适应度集
self.selector_probability = [] # 个体选择概率集合
self.new_individuals = [] # 新一代个体集合
self.elitist = {'chromosome':[0, 0], 'fitness':0, 'age':0} # 最佳个体的信息
self.size = size # 种群所包含的个体数
self.chromosome_size = chrom_size # 个体的染色体长度
self.crossover_probability = cp # 个体之间的交叉概率
self.mutation_probability = mp # 个体之间的变异概率
self.generation_max = gen_max # 种群进化的最大世代数
self.age = 0 # 种群当前所处世代
# 随机产生初始个体集，并将新一代个体、适应度、选择概率等集合以 0 值进行初始化
v = 2 ** self.chromosome_size - 1
for i in range(self.size):
self.individuals.append([random.randint(0, v), random.randint(0, v)])
self.new_individuals.append([0, 0])
self.fitness.append(0)
self.selector_probability.append(0)
# 基于轮盘赌博机的选择
def decode(self, interval, chromosome):
'''将一个染色体 chromosome 映射为区间 interval 之内的数值'''
d = interval[1] - interval[0]
n = float (2 ** self.chromosome_size -1)
return (interval[0] + chromosome * d / n)
def fitness_func(self, chrom1, chrom2):
'''适应度函数，可以根据个体的两个染色体计算出该个体的适应度'''
interval = [-10.0, 10.0]
(x, y) = (self.decode(interval, chrom1),
self.decode(interval, chrom2))
n = lambda x, y: math.sin(math.sqrt(x*x + y*y)) ** 2 - 0.5
d = lambda x, y: (1 + 0.001 * (x*x + y*y)) ** 2
func = lambda x, y: 0.5 - n(x, y)/d(x, y)
return func(x, y)
def evaluate(self):
'''用于评估种群中的个体集合 self.individuals 中各个个体的适应度'''
sp = self.selector_probability
for i in range (self.size):
self.fitness[i] = self.fitness_func (self.individuals[i][0], # 将计算结果保存在 self.fitness 列表中
self.individuals[i][1])
ft_sum = sum (self.fitness)
for i in range (self.size):
sp[i] = self.fitness[i] / float (ft_sum) # 得到各个个体的生存概率
for i in range (1, self.size):
sp[i] = sp[i] + sp[i-1] # 需要将个体的生存概率进行叠加，从而计算出各个个体的选择概率
# 轮盘赌博机（选择）
def select(self):
(t, i) = (random.random(), 0)
for p in self.selector_probability:
if p > t:
break
i = i + 1
return i
# 交叉
def cross(self, chrom1, chrom2):
p = random.random() # 随机概率
n = 2 ** self.chromosome_size -1
if chrom1 != chrom2 and p < self.crossover_probability:
t = random.randint(1, self.chromosome_size - 1) # 随机选择一点（单点交叉）
mask = n << t # << 左移运算符
(r1, r2) = (chrom1 & mask, chrom2 & mask) # & 按位与运算符：参与运算的两个值,如果两个相应位都为1,则该位的结果为1,否则为0
mask = n >> (self.chromosome_size - t)
(l1, l2) = (chrom1 & mask, chrom2 & mask)
(chrom1, chrom2) = (r1 + l2, r2 + l1)
return (chrom1, chrom2)
# 变异
def mutate(self, chrom):
p = random.random ()
if p < self.mutation_probability:
t = random.randint (1, self.chromosome_size)
mask1 = 1 << (t - 1)
mask2 = chrom & mask1
if mask2 > 0:
chrom = chrom & (~mask2) # ~ 按位取反运算符：对数据的每个二进制位取反,即把1变为0,把0变为1
else:
chrom = chrom ^ mask1 # ^ 按位异或运算符：当两对应的二进位相异时，结果为1
return chrom
# 保留最佳个体
def reproduct_elitist (self):
# 与当前种群进行适应度比较，更新最佳个体
j = -1
for i in range (self.size):
if self.elitist['fitness'] < self.fitness[i]:
j = i
self.elitist['fitness'] = self.fitness[i]
if (j >= 0):
self.elitist['chromosome'][0] = self.individuals[j][0]
self.elitist['chromosome'][1] = self.individuals[j][1]
self.elitist['age'] = self.age
# 进化过程
def evolve(self):
indvs = self.individuals
new_indvs = self.new_individuals
# 计算适应度及选择概率
self.evaluate()
# 进化操作
i = 0
while True:
# 选择两个个体，进行交叉与变异，产生新的种群
idv1 = self.select()
idv2 = self.select()
# 交叉
(idv1_x, idv1_y) = (indvs[idv1][0], indvs[idv1][1])
(idv2_x, idv2_y) = (indvs[idv2][0], indvs[idv2][1])
(idv1_x, idv2_x) = self.cross(idv1_x, idv2_x)
(idv1_y, idv2_y) = self.cross(idv1_y, idv2_y)
# 变异
(idv1_x, idv1_y) = (self.mutate(idv1_x), self.mutate(idv1_y))
(idv2_x, idv2_y) = (self.mutate(idv2_x), self.mutate(idv2_y))
(new_indvs[i][0], new_indvs[i][1]) = (idv1_x, idv1_y) # 将计算结果保存于新的个体集合self.new_individuals中
(new_indvs[i+1][0], new_indvs[i+1][1]) = (idv2_x, idv2_y)
# 判断进化过程是否结束
i = i + 2 # 循环self.size/2次，每次从self.individuals 中选出2个
if i >= self.size:
break
# 最佳个体保留
# 如果在选择之前保留当前最佳个体，最终能收敛到全局最优解。
self.reproduct_elitist()
# 更新换代：用种群进化生成的新个体集合 self.new_individuals 替换当前个体集合
for i in range (self.size):
self.individuals[i][0] = self.new_individuals[i][0]
self.individuals[i][1] = self.new_individuals[i][1]
def run(self):
'''根据种群最大进化世代数设定了一个循环。
在循环过程中，调用 evolve 函数进行种群进化计算，并输出种群的每一代的个体适应度最大值、平均值和最小值。'''
for i in range (self.generation_max):
self.evolve ()
print (i, max (self.fitness), sum (self.fitness)/self.size, min (self.fitness))
if __name__ == '__main__':
# 种群的个体数量为 50，染色体长度为 25，交叉概率为 0.8，变异概率为 0.1,进化最大世代数为 150
pop = Population (50, 24, 0.8, 0.1, 150)
pop.run()
来源：https://www.cnblogs.com/caiyishuai/p/12190479.html