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凸集与仿射集

仿射集合 affine set
定义：给定两点 $x_1,x_2 \in R^n, x_1 \neq x_2$ ，所有满足 $x = \theta x_1 + (1-\theta)x_2, \theta \in R$ 的点。
注意：仿射集包含过集合中任意两点的直线。
例子：线性方程组的解集是仿射集， $C=\{x | Ax = b\}$ 。反之亦然，任何一个仿射集都可以表示为一组线性方程组的解。
凸集 convex set
定义：与仿射集类似，但要求 $\theta \in [0,1]$ ，即任取集合中 $x_1,x_2$ ，两点之间的线段组成的集合。
例子：
凸组合与凸包 convex combination & convex hull
凸组合定义：对于点 $x_1,x_2,\ldots,x_k$ ，所有满足如下形式的点
$x = \theta_1x_1 +\theta_2x_2 + \cdots + \theta_kx_k， \sum_{i=1}^k\theta_i=1,\theta_i\geq0$
凸包定义：记作 $conv \ C$ ，集合C所有凸组合构成的集合。（对于非凸集来说，凸包是最小的包含该集合的凸集）
凸锥 convex cone
锥组合定义：对于 $x_1.x_2$ ，所有满足 $x = \theta_1x_1 + \theta_2x_2， \theta_i\geq0$ 形式的点。
凸锥定义：包含集合内所有点的锥组合的集合。

一些例子

超平面与半空间 hyperplanes & halfspaces
超平面定义：满足如下形式的集合， $x = \{x|a^Tx=b\},a\neq0,a\in R^n,b\in R$ ，即为超平面。

半空间定义：满足如下形式的集合， $x = \{x|a^Tx\leq b\},a\neq 0,a\in R^n,b\in R$ ，即为半空间。
注意：上面两个定义中，a是法向量；超平面是仿射集（自然也是凸集），半空间是凸集。
欧几里得球和欧几里得椭球 Euclidean Balls and Ellipsoids
这里我们就用同一个表达式进行定义 $\{x | (x-x_C)^TP(x-x_c)\leq1\}$
对于欧几里得球，矩阵P就是eyes（n），椭球就是对称正定矩阵。
当然，也有其他表示方式，球 $\{x_c+ru|\|u\|_2\leq1\}$ ，椭球 $\{x_c+Au|\|u\|_2\leq1\}$ ，A为非奇异方阵。
范数球和范数锥 Norm Balls and Norm Cones
范数球和范数锥就很简单了。
范数球： $\{x|\|x-x_c\|\leq r\}$
范数锥： $\{(x,t)|\|x\|\leq t\}$
这里提个小问题，二位情况下的 $∞$ 、1、2范数球和范数锥是什么样子的？
多面体 Polyhedra
多面体实际上就是有限个线性不等式方程组 $Ax\preceq b$ 和等式方程组 $Cx=d$ 对应的超平面和半空间的交集。
半正定锥 Positive Semidefinitive Cone
半正定锥可能几何理解上有点难。我们仍然先给出定义。
半正定锥： $S_+^n=\{X\in S^n|X\succeq 0\}$ S是对称方阵的意思
性质： $X\in S^n_+\Leftrightarrow z^TXz\geq0\ for \ all\ z$
相应的，正定锥就是广义大于0，没有等于。

保凸运算

定义 by definition
通过定义，我们可以验证一个集合是否为凸集。
交集 intersection
任意个凸集的交集也必为凸集。这里给出一个经典的例子。
仿射函数 affine functions
透视函数 perspective function
线性分式函数 linear-fractional functions

广义不等式

（上一节偷懒了，直接放PPT，嘿嘿嘿）
广义不等式是定义于正常锥上的，那么什么是正常锥呢？
一个凸锥是正常锥，当它满足：
1）闭合（包括边界）
2）非空（内部非空）
3）有向（不包含直线）
例如，二维平面（n维一样）上的第一象限（包含xy正半轴），正定锥都是正常锥。
在这里插入图片描述
广义不等式可能不太好理解，不过我们依然可以通过举例子来理解，比如二维三维的情况，或者自己设一个矩阵。
广义不等式的重要性主要体现在帮助我们理解最小值和极小值上。

没错，从集合上来看，极小值和最小值这里不太好理解，不过相信简单直观从函数层面，大家就能很容易地理解了。