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数据结构系列，二叉平衡树的构建

由 感情迁移 提交于 2020-01-12 15:13:26

平衡二叉树

平衡二叉树，首先要是一种二叉排序树，

然后，其中每一个结点的左子树，右子树的高度差（左子树的高度 – 右子树的高度）至多等于1，二叉树的高度就是这棵树有几层。

 

将二叉树上结点的左子树深度减去右子树深度的值称为平衡因子BF，所有结点的平衡因子的值，只可能是-1, 0, 1。只要二叉树上有一个结点的平衡因子绝对值大于1，则该二叉树就是不平衡的。

距离插入结点最近的，且平衡因子的绝对值大于1的结点为跟的子树，称为最小不平衡子树。

当新插入结点37时，距离37这个结点最近的平衡因子绝对值超过1的结点是58，所以58就是最小不平衡子树。

为了构建平衡二叉树，需要在构建时，每次插入结点，先要检查是否因为插入结点破坏了树的平衡性，如果破坏了，就找出最小不平衡树，进行旋转，使之成为新的不平衡子树。

 

平衡二叉树，就是在二叉排序树的创建过程中保证他的平衡性，一旦插入结点出现不平衡，就马上旋转使其平衡。

当最小不平衡子树根结点的平衡因子BF大于1时，做右旋；当BF小于-1时做左旋；

当最小不平衡子树的BF与它的子树的BF符号相反时，就要先对它的子树进行一次旋转使得符号相同后，在反向旋转最小不平衡树，完成平衡操作。

 

依据上面的二叉排序树的插入，旋转策略，来实现构建一棵平衡二叉树。

现在有10个结点，

Int a[10] = {3, 2, 1, 4, 5, 6, 7, 10, 9, 8}

  1. 插入前两个结点3，2时都是正常的构建，当插入第三个数1的时候，发现根结点3的BF变成了2，如图1，此时整棵树就是最小不平衡子树，因为BF为正，将其右旋，如图2。继续插入结点4。

     

  2. 增加结点5时，结点3的BF变为-2，如图4，说明要左旋了，如图5.

     

  3. 增加结点6时，结点2的BF变为-2，如图6，所以要左旋，如图7，
  4. 增加结点7时，也要左旋，如图8，图9.

    5，增加结点10，没有变化，在增加结点9时，结点7的BF变为-2，如图11，如果直接左旋7,9,10，因为结点9变成10的右孩子，不符合二叉排序树的特性，所以不能简单的左旋，前面我们说，如果最小不平衡子树的BF跟他的子树的BF符号不一致，要先选择其子树，使他们的BF符号统一，在反向旋转最小不平衡子树。

    所以先要对9,10做右旋，在对7，9,10做左旋，如图12，图13，

    6，在插入结点8，因为6的BF变为-2，它的右孩子9的BF变为1，如图14，所以要先对9右旋，如图15，在对6左旋，如图16.

    代码实现：

    #ifndef DATA_STRUCTURE_BINARY_BF_TREE_CLASS_H
#define DATA_STRUCTURE_BINARY_BF_TREE_CLASS_H

#define OK 1
#define ERROR 0
#define TRUE 1
#define FALSE 0
#define MAXSIZE 100 //存储空间初始分配量
#define MAX_TREE_SIZE 100 //二叉树最大结点树

typedef int Status; //表示函数结果的状态码
typedef int TreeElemType; //树节点的数据类型，暂定int
typedef TreeElemType SqBiTree[MAX_TREE_SIZE]; //顺序存储结构数组

typedef struct BiTNode {
    int data;//结点的值
    int bf;//平衡因子
    struct BiTNode *lchild, *rchild;//左右孩子指针
}BiTNode, *BiTree;

TreeElemType Nil = 0; //表示空元素

Status Delete(BiTree *p);
void R_Rotate(BiTree *p);
void L_Rotate(BiTree *p);

#endif
    #include "BinaryBFTree.h"

#include "iostream"
#include "cstdlib"
#include "cmath"
using namespace std;

#define arrayLength(array) sizeof(array) / sizeof(array[0])
const int array[10]={3,2,1,4,5,6,7,10,9,8};

Status visit(BiTree T) {
	if (NULL != T) {
		cout << "value=" << T->data << endl;
	} else {
		cout << "T is null!" <<endl;
	}
	return OK;
}

void InOrderTraverseBST(BiTree T) {
	if (NULL == T) {
		//cout << "T is null!" <<endl;
		return;
	} else {
		InOrderTraverseBST(T->lchild);
		visit(T);
		InOrderTraverseBST(T->rchild);
	}
}

/*
*对以P为跟结点的二叉排序树做右旋，旋转后p为新的根结点。
*/
void R_Rotate(BiTree *p) {
	BiTree L;
	L = (*p)->lchild; //p的左孩子，为新的根结点
	(*p)->lchild = L->rchild; //p的左孩子的右孩子，为p的左孩子
	L->rchild = (*p);//新的根结点右孩子，为原来的p
	*p = L;//指向新的根结点，原根结点的左孩子的左孩子指向没有变。
}

/*
*对p为根的二叉排序树做左旋处理，旋转后p为新的根结点
*/
void L_Rotate(BiTree *p) {
	BiTree R;
	R= (*p)->rchild;
	(*p)->rchild = R->lchild;
	R->lchild = (*p);
	*p = R;
}

//最小不平衡子树的子树的高度值。
#define LH +1 //左高
#define EH 0 //等高
#define RH -1 //右高

/*
* 对T为根结点的最小不平衡子树做左平衡旋转
*/
void LeftBalance(BiTree *T) {
	BiTree L, Lr;
	L = (*T)->lchild;
	switch(L->bf) {
		//新插入结点在T的左孩子的左子树上，做右旋
		case LH:
			(*T)->bf = L->bf = EH;
			R_Rotate(T);
			break;
		//新插入结点在T的左孩子的右子树上，做双旋
		case RH:
			Lr = L->rchild;
			switch(Lr->bf) {
				case LH:
					(*T)->bf = RH;
					L->bf = EH;
					break;
				case EH:
					(*T)->bf = L->bf = EH;
					break;
				case RH:
					(*T)->bf = EH;
					L->bf = LH;
					break;					
			}
			Lr->bf = EH;
			//对T的左子树做左旋
			L_Rotate(&((*T)->lchild));
			//对T做右旋
			R_Rotate(T);
	}
}

/*
 *对T为根结点的最小不平衡子树作右平衡旋转处理，
 */
void RightBalance(BiTree *T) {
	BiTree R, Rl;
	R = ( * T)->rchild; /*	R指向T的右子树根结点 */
	switch (R -> bf) { /*  检查T的右子树的平衡度，并作相应平衡处理 */
		case RH: /*  新结点插入在T的右孩子的右子树上，要作单左旋处理 */
			( * T)->bf = R -> bf = EH;
			L_Rotate(T);
			break;
		case LH: /*  新结点插入在T的右孩子的左子树上，要作双旋处理 */
			Rl = R -> lchild; /*  Rl指向T的右孩子的左子树根 */
			switch (Rl -> bf) { /*	修改T及其右孩子的平衡因子 */
				case RH:
					( * T)->bf = LH;
					R -> bf = EH;
					break;
				case EH:
					( * T)->bf = R -> bf = EH;
					break;
				case LH:
					( * T)->bf = EH;
					R -> bf = RH;
					break;
			}
			Rl -> bf = EH;
			R_Rotate( & ( * T)->rchild); /*  对T的右子树作右旋平衡处理 */
			L_Rotate(T); /*  对T作左旋平衡处理 */
	}
}

/*	若在平衡的二叉排序树T中不存在和e有相同关键字的结点，则插入一个
*  数据元素为e的新结点，并返回1，否则返回0。若因插入而使二叉排序树
*  失去平衡，则作平衡旋转处理，布尔变量taller反映T长高与否
*/
Status InsertAVL(BiTree *T, int e, Status *taller) {
    if (! * T) { /*  插入新结点，树“长高”，置taller为TRUE */
        *T = (BiTree) malloc(sizeof(BiTNode));
        ( * T)->data = e;
        ( * T)->lchild = ( * T)->rchild = NULL;
        ( * T)->bf = EH;
        *taller = TRUE;
    } else {
        if (e == ( * T)->data) { /*	树中已存在和e有相同关键字的结点则不再插入 */
        *taller = FALSE;
          return FALSE;
        }
        if (e < ( * T)->data) { /*	应继续在T的左子树中进行搜索 */
            if (!InsertAVL( & ( * T)->lchild, e, taller)) /*	未插入 */
            	return FALSE;
            if (*taller) { /*	已插入到T的左子树中且左子树“长高” */
	            switch (( * T)->bf) {/*  检查T的平衡度 */
	              case LH: /*  原本左子树比右子树高，需要作左平衡处理 */
	            	  LeftBalance(T); *taller = FALSE;
	            	  break;
	              case EH: /*  原本左、右子树等高，现因左子树增高而使树增高 */
	            	  ( * T)->bf = LH; *taller = TRUE;
	            	  break;
	              case RH: /*  原本右子树比左子树高，现左、右子树等高 */
	            	  ( * T)->bf = EH; *taller = FALSE;
	            	  break;
	            }
            }
        }
        else { /*	应继续在T的右子树中进行搜索 */
            if (!InsertAVL( & ( * T)->rchild, e, taller)) /*	未插入 */
            	return FALSE;
            if (*taller) { /*  已插入到T的右子树且右子树“长高” */
	            switch (( * T)->bf) {/*  检查T的平衡度 */
		            case LH: /*  原本左子树比右子树高，现左、右子树等高 */
		              ( * T)->bf = EH; *taller = FALSE;
		              break;
		            case EH: /*  原本左、右子树等高，现因右子树增高而使树增高  */
		              ( * T)->bf = RH; *taller = TRUE;
		              break;
		            case RH: /*  原本右子树比左子树高，需要作右平衡处理 */
		              RightBalance(T); *taller = FALSE;
		              break;
	            }
            }
        }
    }
  return TRUE;
}

int main() {
	BiTree T = NULL;
	Status taller;
	for(int i=0;i<arrayLength(array);i++) {
		InsertAVL(&T,array[i],&taller);
	}	
	InOrderTraverseBST(T);
}

    /*output*/

    /BinaryTree$ g++ -g BinaryBFTree.cpp -o BFTree
/BinaryTree$ ./BFTree 
value=1
value=2
value=3
value=4
value=5
value=6
value=7
value=8
value=9
value=10

    对图16按中序遍历的输出结果，是一致的。

标签
数据结构
二叉排序树
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