公式:d2(a,b) = |a|2 + |b|2 - 2Re(ab*);(1)
证明:
令c = a - b;
则 |c|2 = d2(a,b) = |a|2 + |b|2 -2|a||b|cos<a,b>(余弦定理);(2)
令a = |a|ejθa
b = |b|ejθb
则ab* = |a||b|ej(θa-θb)
= |a||b|cos(θa-θb) + j|a||b|sin(θa-θb) (欧拉公式)
于是Re(ab*) = |a||b|cos(θa-θb) = |a||b|cos<a,b>(3)
综合(1)(2)(3)式,得证。
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