\(BSGS\)

\(BSGS(Baby　Step　Giant　Step)\)，中文名大步小步算法，也有拔山盖世、北上广深、阿姆斯特朗算法等别称
解决问题为求\(A^x\equiv B(mod　C)\)的最小整数解，其中\(A　C\)互质。

首先因为\(\phi(C)\)一个循环节且\(\phi(C)<C\)，所以答案不会超过\(C\)

使得\(x=i\times m-j\)，其中\(m=\sqrt C\)

这样原式变为\(A^{im-j}\equiv B(mod　C)\)

移项得到\(A^{im}\equiv BA^j(mod　C)\)

大小步中的"小步"就是从\(0\)到\(m-1\)枚举\(j\)（相当于个位），将\((BA^j,j)(mod　C)\)记录进哈希表

然后“大步”就是枚举\(i\)，相当于枚举\(m\)进制的第\(2\)位然后对于每一个\(A^{im}(mod　C)\)进入哈希表查找是否存在，若存在一定是最小值直接返回即可。

因为c++整除的性质，一定要确保枚举的i超过C，否则会遗漏答案

注意答案只会在\(C\)以下，如果超过\(C\)还没找到就可以返回\(-1\)了

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<map>
#include<cmath>
#define ll long long 
#define re register
#define MOD 76543
using namespace std;
int T,aa,bb,cc,K;
int top,hs[MOD],id[MOD],head[MOD],next[MOD];
ll x,y;
map<int,int> a;
void insert(int x, int y)
{
    int k = x%MOD;
    hs[top] = x, id[top] = y, next[top] = head[k], head[k] = top++;
}
int find(int x)
{
    int k = x%MOD;
    for(int i = head[k]; i != -1; i = next[i])
        if(hs[i] == x)
            return id[i];
    return -1;
}


ll BSGS(ll a,ll b,ll c)
{
     a%=c,b%=c;//一定别忘了取模    1
     if(a==0&&b==0) return 1;//最小整数解 2
     if(gcd(a,c)!=1) return -1;// 3 因为题目保证是质数，不互质的话一定是倍数关系，取模后是0，0的任意次方都只能是0(0^0除外)
     if(b == 1)
        return 0; // 4
    
    //取模之后的gcd答案一定为C，此时C是质数，即使扩展BSGS也无解 
    memset(head, -1, sizeof(head));//数组不清空，爆零两行泪 
    top = 1;

    int m = sqrt(c*1.0), j;
    long long x = 1, p = 1;
    for(int i = 0; i < m; ++i, p = p*a%c)
        insert(p*b%c, i);//存的是(a^j*b, j)
    
    for(long long i = m; ;i += m)//此时p为a^m 
    {
        if( (j = find(x = x*p%c)) != -1 )
            return i-j;  //a^(ms-j)=b(mod c)
        if(i > c)
            break;
    }
    return -1;
}

1.当\(a\)在模\(b\)意义下有逆元的充要条件是\(gcd(a,b)=1\)
上面做法虽然用\(a^{im-j}\)而不是\(a^{im+j}\)躲过了逆元操作
但实际上这个操作的逆运算如果不保证\(A,C\)互质时不成立的，所以\(BSGS\)的前提是\(A,C\)互质
2.还有一定要注意C是否为质数，如果为质数且\(A,C\)不互质，则\(A\)为倍数，这时候考虑B是否为0，否则\(BSGS\)和扩展\(BSGS\)都无解
因为扩展的要让\(C\)除一个数，无法整除则无解。
3.注意特判的顺序，先取模，再考虑\(a==0,b==1\)或\(a==0,b==0\)的情况下，最后再判无解

\(Ext. BSGS\)

当\(A,C\)不互质时

1.首先对于一般的离散对数问题\(A^x\equiv B(mod　C)\),一定可以写成\(A^x=kC+B\)

2.令\(d=gcd(A,C)\)，将两边同时除以\(d\)，得到\(\frac{A}{d}A^{x-1}=kC_2+B_2\)

3.注意\(A\)是没有变的，所以\(A,C\)任然可以互质，重复以上操作直到\(A,C\)互质，令\(D=\prod\limits_{i=1}^n\)，转换为\(D\cdot A^{x-n}=kC_n+B_n\)即\(D\cdot A^{x-n}\equiv B_n(mod　C_n)\)，变为互质情况，\(BSGS\)即可

4.由于这里的指数是\(x-n\)，需要特判断\(x=0,1,\cdots n\)时等式是否成立。
一般只用特判\(50\)层就够了，因为是\(log(C)\)的
警告！警告！使用前最好验证一下，因为扩展的BSGS我没写过题！
警告！警告！使用前最好验证一下，因为扩展的BSGS我没写过题！
警告！警告！使用前最好验证一下，因为扩展的BSGS我没写过题！

#define mod 76543
int hs[mod],head[mod],next[mod],id[mod],top;
void insert(int x,int y)
{
    int k=x%mod;
    hs[top]=x,id[top]=y,next[top]=head[k],head[k]=top++;
}
int find(int x)
{
    int k=x%mod;
    for(int i=head[k];i!=-1;i=next[i])
      if(hs[i]==x)
       return id[i];
    return -1;
}
int BSGS(int a,int b,int c)
{
    memset(head,-1,sizeof(head));//数组不清空，爆零两行泪
    top=-1;
        if(a==0&&b==0) return 1;
    if(b==1)
     return 0;
    long long d=1;
    int cnt=0;
    long long r=1;
    for(int i=0;i<50;++i)
    {
        if((r-b)%c==0)
         return i;
         r*=a;
         r%=c;
    }//最多50层就够了 
    while((d=gcd(a,c))!=-1)
    {
        if(b%d) return -1;//如果不能整除说明无解，因为此时没法用逆元 
        cnt++;
        b/=d,c/=d;//注意让b先取模 
    }
    int m=sqrt(c),j;
    for(int j=0;j<m;++j,p=p*a%c)
     insert(p*b%c,j);//注意取模，存的是(a^j*b,j);
    for(int i=m;;i+=m)//因为是减法，所以从m开始枚举 
    {
        if((j=find(x=x*p%c))!=-1)//p从一开始就是a^m每次乘p相当于a^i 
        return i-j;//im-j
        if(i>c)//里面找不到循环节外不可能找到了 
        break;
    }
    return -1;
}

来源：https://www.cnblogs.com/Liuz8848/p/11373392.html

标签

互质

BSGS与扩展BSGS

\(BSGS\)

\(Ext. BSGS\)