Prufer序列

Prufer 序列可以将一个带标号$n$个结点的无根树用$n-2$个$[1,n]$的整数表示。也可以理解为完全图的生成树与数列之间的双射。

带标号无根树与$Prufer$序列是一一对应的。

无根树转Prufer序列

有一棵带标号无根树。它的$Prufer$序列构造如下：

　每次选择一个编号最小的叶结点并删掉它，然后在序列中记下和它相邻的那个结点的编号。反复执行操作直到只剩下两个结点。

Prufer序列转无根树

有一个$Prufer$序列和$n$个点的点集。转回无根树就是：

　每次取出$Prufer$序列中最前面的元素$x$，和点集中编号最小的不在$Prufer$序列的元素$y$，给$x，y$连边之后分别删去。最后点集中剩下两个结点，把它们连边。

性质

$Prufer$序列中每个编号出现次数等于该结点在原树中的度数-1。（只有作为叶子被删去时不会加入序列中）

Cayley′s Formula

因为$Prufer$序列和原树是一一对应的关系，所以

$n$个点带标号无根树的方案数为$n^{n-2}$。

$Ex$：

1.如果给定每个点度数$d_1,d_2,\dots,d_n $，那么

对应的无根树的数量为$\frac{(n-2)!}{\prod_{i=1}^n(d_i-1)!}$。

相当于是已经确定了序列中的元素，现在只用算多重集的排列数。

2.$n$个点其中$k$个给定度数，令$s=\sum_{i=1}^k(d_i-1)$

对应的无根树数量$\binom{n-2}{s}\frac{s!}{\prod_{i=1}^k(d_i-1)!}(n-k)^{n-2-s}$。

就是这$s$个排列了之后剩下的位置随便填。

3.有$n$个带权的点，边权为连接的点权之积，树的权值为边权之积。求所有树的权值之和。

设点$i$的权值为$val_i$，度数为$d_i$，那么一棵树的权值就是$\prod_{i=1}^nval_i^{d_i}$。

考虑利用$Prufer$序列计算。根据乘法分配率

答案是$(\prod_{i=1}^nval_i)(\sum_{i=1}^nval_i)^{n-2}$。

第一项就是考虑到每个点在$Prufer$序列恰出现$d_i-1$次，所以要补一次。

Generalized Cayley′s Formula

$n$个点构成$m$棵有标号无根树，且指定其中$m$个点不在同一棵树上。

方案数为f(n,m)=mn^{n-m-1}。

$m=1$时有$f(n,1)=n^{n-2}$，即Cayley′s Formula。

可以归纳证明：首先对于任意$n$有$f(n,0)=0$，$f(n,1)=n^{n-2}$，这是边界。

我们假设对于所有$i<n$，$f(i,m)=mi^{i-m-1}$恒成立。要证$f(n,m)=mn^{n-m-1}$。

方便起见，我们枚举1号点的度数$i$，以及与1号点相连的那$i$个点，那么在去掉1号点之后，会留下$n-1$个点和$m+i-1$棵树（常用的缩小规模手段要学会）。即：

\[ \begin{align} f(n,m)=&\sum\limits_{i=0}^{n-m}\binom{n-m}{i}f(n-1,m+i-1)\\ =&\sum\limits_{i=0}^{n-m}\binom{n-m}{i}(m+i-1)(n-1)^{n-m-i-1}\\ \end{align} \]

令$i=n-m-i$，则有：

\[ \begin{align} f(n,m)=&\sum\limits_{i=0}^{n-m}\binom{n-m}{i}(n-i-1)(n-1)^{i-1}\\ =&\sum\limits_{i=0}^{n-m}\binom{n-m}{i}(n-1)^i-\sum\limits_{i=0}^{n-m}\binom{n-m}{i}i(n-1)^{i-1}\\ =&\sum\limits_{i=0}^{n-m}\binom{n-m}{i}(n-1)^i-\sum\limits_{i=1}^{n-m}\binom{n-m}{i}i(n-1)^{i-1} \end{align} \]
第二步到第三步是因为$i=0$时这一项乘了个$i$所以结果就是0。

前面一项，用二项式定理变成$n^{n-m}$；后面一项把$i$丢进组合数里约分，$\binom{n-m}{i}i$变成$(n-m)\binom{n-m-1}{i-1}$。

\[ \begin{align} f(n,m)=&n^{n-m}-(n-m)\sum\limits_{i=1}^{n-m}\binom{n-m-1}{i-1}(n-1)^{i-1}\\ =&n^{n-m}-(n-m)\sum\limits_{i=0}^{n-m-1}\binom{n-m-1}{i-1}(n-1)^{i}\\ =&n^{n-m}-(n-m)n^{n-m-1}\\ =&mn^{n-m-1} \end{align} \]

$Q.E.D.$

图联通方案数

Problem to solve：$n$个点$m$条边的带标号无向图形成$k$个联通块。添加$k-1$条边使得图联通的方案数。

设$s_i$表示第$i$个联通块中点的数量。我们现在是要对$k$个联通块构造$Prufer$序列。但是因为每个联通块连接方式很多，所以不能直接简单构造。

考虑设$d_i$为第$i$个联通块的度数。有$\sum\limits_{i=1}^kd_i-1=k-2$（两边同时加$k$就是$\sum\limits_{i=1}^kd_i=2k-2$，即度数和是边数的两倍），那么对于给定$d$序列构造$Prufer$序列的方案数有

\[ \binom{k-2}{d_1-1,d_2-1,\dots,d_k-1}=\frac{(k-2)!}{(d_1-1)!(d_2-1)!\dots(d_k-1)!} \]
这和Cayley′s Formula的$Ex1.$是一样的。

对于第$i$个联通块，它的连接方式有$s_i^{d_i}$种，因为每一条边可以选择任意点连接。那么对于给定$d$序列的图，使其联通的方案数为
\[ \binom{k-2}{d_1-1,d_2-1,\dots,d_k-1}\cdot \prod\limits_{i=1}^ks_i^{d_i} \]
所有方案就是再枚举一个$d$序列：
\[ \sum\limits_{d_i\geq 1,\sum_{i=1}^kd_i=2k-2}\binom{k-2}{d_1-1,d_2-1,\dots,d_k-1}\cdot \prod\limits_{i=1}^ks_i^{d_i} \]
由多元二项式定理：
\[ (x_1+x_2+\dots+x_m)^p=\sum\limits_{c_i\ge0,\sum_{i=1}^mc_i=p}\binom{p}{c_1,c_2,\dots,c_m}\cdot \prod x_i^{c_i} \]
设$e_i=d_i-1$，原式变成：
\[ \begin{align} &\sum\limits_{e_i\geq 0,\sum_{i=1}^ke_i=k-2}\binom{k-2}{e_1,e_2,\dots,e_k}\cdot \prod\limits_{i=1}^ks_i^{e_i+1}\\ &=(s_1+s_2+\dots+s_k)^{k-2}\cdot \prod\limits_{i=1}^ks_i \end{align} \]

转自：

https://oi-wiki.org/graph/prufer/

https://blog.csdn.net/weixin_34227447/article/details/93649135

来源：https://www.cnblogs.com/fruitea/p/12164236.html

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