树上差分一般用于和树上路径有关的统计，对于一条路径\((S,T)\)，我们一般修改他们的\(d[S],d[T],d[LCA]\)的值来达到目的，而答案通常通过统计子树和来完成，复杂度显然为\(O(n)\)。
例一：最大流
这题是一道树上差分的板子题。
显然用差分给对\(d[S],d[T]\)加一，\(d[LCA],d[las[LCA][0]]\)减一，然后求子树和就相当于给树上路径节点加一。
不多\(BB\)，直接放代码。
// luogu-judger-enable-o2
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
inline int read()
{
int f=1,w=0;char x=0;
while(x<'0'||x>'9') {if(x=='-') f=-1; x=getchar();}
while(x!=EOF&&x>='0'&&x<='9') {w=(w<<3)+(w<<1)+(x^48);x=getchar();}
return w*f;
}
const int N=50010;
int n,m,num_edge;
int head[N<<1],d[N],las[N][21],Dep[N];
struct Edge{int next,to;} edge[N<<1];
inline void Add(int from,int to)
{
edge[++num_edge].next=head[from];
edge[num_edge].to=to;
head[from]=num_edge;
}
inline void Dfs(int pos,int fa)
{
las[pos][0]=fa;Dep[pos]=Dep[fa]+1;
for(int i=0;i<20;i++) las[pos][i+1]=las[las[pos][i]][i];
for(int i=head[pos];i;i=edge[i].next)
if(edge[i].to!=fa) Dfs(edge[i].to,pos);
}
inline int LCA(int u,int v)
{
if(Dep[u]<Dep[v]) swap(u,v);
for(int i=20;i>=0;i--) if(Dep[v]<=Dep[u]-(1<<i)) u=las[u][i];
if(u==v) return u;
for(int i=20;i>=0;i--) if(las[u][i]!=las[v][i]) u=las[u][i],v=las[v][i];
return las[u][0];
}
inline void Dfs_For_Ans(int pos,int fa)
{
for(int i=head[pos];i;i=edge[i].next)
if(edge[i].to!=fa)
Dfs_For_Ans(edge[i].to,pos),d[pos]+=d[edge[i].to];
}
int main(){
#ifndef ONLINE_JUDGE
freopen("A.in","r",stdin);
#endif
n=read();m=read();
for(int i=1,u,v;i<n;i++)
u=read(),v=read(),Add(u,v),Add(v,u);
Dfs(1,0);
for(int i=1;i<=m;i++)
{
int s=read(),t=read(),lca=LCA(s,t);
//printf("%d:%d\n",i,lca);
d[s]++,d[t]++,d[lca]--,d[las[lca][0]]--;
}
int ans=-1;Dfs_For_Ans(1,0);
for(int i=1;i<=n;i++) ans=max(ans,d[i]);
printf("%d",ans);
}
例二：NOIP2015运输计划
这一题有点意思，相当于求修改后的最长路径最短为多少，显然二分，考虑如何\(Check\)。
二分出\(s\)后，找到所有大于\(s\)的路径的重边，
然后判断一下即可。
注意在找重边时用差分做，即在\(LCA\)处减\(2\)，\(S,T\)处加\(1\)；
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
inline int read()
{
int f=1,w=0;char x=0;
while(x<'0'||x>'9') {if(x=='-') f=-1; x=getchar();}
while(x!=EOF&&x>='0'&&x<='9') {w=(w<<3)+(w<<1)+(x^48);x=getchar();}
return w*f;
}
const int N=300010;
int n,m,num_edge,Tot;
int d[N],Dep[N],Tep[N];
int head[N<<1],las[N][30];
struct Edge{int next,to,dis;} edge[N<<1];
struct Group{int from,to,len,lca;} Pln[N];
inline void Add(int from,int to,int dis)
{
edge[++num_edge].next=head[from];
edge[num_edge].dis=dis;
edge[num_edge].to=to;
head[from]=num_edge;
}
inline void Dfs(int pos,int fa)
{
las[pos][0]=fa,Dep[pos]=Dep[fa]+1;
for(int i=0;i<25;i++) las[pos][i+1]=las[las[pos][i]][i];
for(int i=head[pos];i;i=edge[i].next)
if(edge[i].to!=fa)
d[edge[i].to]=d[pos]+edge[i].dis,Dfs(edge[i].to,pos);
}
inline int LCA(int u,int v)
{
if(Dep[u]<Dep[v]) swap(u,v);
for(int i=25;i>=0;i--) if(Dep[u]-(1<<i)>=Dep[v]) u=las[u][i];
if(u==v) return u;
for(int i=25;i>=0;i--) if(las[u][i]!=las[v][i]) u=las[u][i],v=las[v][i];
return las[u][0];
}
inline void Dfs_For_CF(int pos,int fa)
{
for(int i=head[pos];i;i=edge[i].next)
if(edge[i].to!=fa)
Dfs_For_CF(edge[i].to,pos),Tep[pos]+=Tep[edge[i].to];
}
inline bool Check(int s)
{
int Cnt=0,Max=0;
memset(Tep,0,sizeof(Tep));
for(int i=1;i<=m;i++)
if(Pln[i].len>s)
{
Tep[Pln[i].from]++,Tep[Pln[i].to]++;Cnt++;
Tep[Pln[i].lca]-=2;Max=max(Max,Pln[i].len-s);
}
if(!Cnt) return 1;Dfs_For_CF(1,0);
for(int i=2;i<=n;i++) if(Tep[i]==Cnt&&d[i]-d[las[i][0]]>=Max) return 1;
return 0;
}
int main(){
#ifndef ONLINE_JUDGE
freopen("A.in","r",stdin);
#endif
n=read(),m=read();
for(int i=1,u,v,d;i<n;i++)
u=read(),v=read(),d=read(),Add(u,v,d),Add(v,u,d),Tot+=d;
d[1]=0;Dfs(1,0);
for(int i=1;i<=m;i++)
{
Pln[i].from=read(),Pln[i].to=read();
Pln[i].lca=LCA(Pln[i].from,Pln[i].to);
Pln[i].len=d[Pln[i].from]+d[Pln[i].to]-2*d[Pln[i].lca];
}
int l=0,r=Tot;
while(l<r)
{
int mid=(l+r)>>1;
if(Check(mid)) r=mid;
else l=mid+1;
}
printf("%d",l);
}