点分治详解
一.概念
是处理树上路径的一个极好的方法。如果你需要大规模的处理一些树上路径的问题时，点分治是一个不错的选择。
二.具体思路
大多数同学的暴力做法都是对于每一个点对（u，v） 进行dfs来求解。但其实利用分治这一种算法，可以大大减少搜索的时间复杂度。
对于一个序列上的区间和等操作，我们可以使用分治来将原问题分解成几个子问题来求解，之后在一一合并答案。而在树上我们也是可以进行这一种操作的。可是树上的每一个子树的节点数是不确定的，不能单单的取中点（你告诉我怎么取），或直接取一号子树。（分治的点的错误选择会导致时间复杂度十分不稳定）。
如下图所示，如果你取了第一个点的话，那么时间复杂度会变\(O(n)\),但如果我们取的点是3的话，那么时间复杂度就会是 \(O(logn)\)
所以，我们要引入一个概念 —— 树的重心
定义：找到一个点,其所有的子树中最大的子树节点数最少,那么这个点就是这棵树的重心,删去重心后，生成的多棵树尽可能平衡
由定义可知，当我们选择树的重心为分支点时，是最优的（我有个绝妙的证明只是这里写不下）
好了，求出了树的重心之后我们就可以来分治了！！
先现给出求重心的代码，便于读者依次理解
void find(int x,int fa)
{
size[x] = 1; mx[x] = 0;
for (int i = head[x]; i ; i = edges[i].net)
{
edge v = edges[i];
if(v.to == fa||vis[v.to] ) continue;//vis是之后分治是要用到的
find(v.to,x);
size[x] += size[v.to];
chkmax(mx[x],size[v.to]);
}
chkmax(mx[x],S-size[x]);//S为树的大小，记住x的上面要算入的
if(mx[x] < mx[root])
{
root = x;
}
}
现在开始我们点分治中最重要的部分了 —— 分治
分治不太好讲，我们从代码开始分析
void Divid(int x)
{
ans+=solve(x,0);
vis[x] = 1;
for (int i = head[x];i;i = edges[i].net)
{
edge v = edges[i];
if(vis[v.to]) continue;
ans-=solve(v.to,edges[i].cost);
S = size[v.to]; root = 0;
find(v.to,x);
Divid(root);
}
}
- ans += solve(x,0); 这一句的作用是将答案加上经过x的路径答案。 而这一个0是为了解决掉一些，有重复计算的结果；（看不懂先假装没有这个0）
- ans -= solve（v.to,edges[i].cost); 这一句是将在既经过x这个点，又经过v.to这一个点的路径来去重。因为像这种路径会在solve（x,0)和solve(v.to,0)中都计算一次。而题目是要求路径的长度，所以在容斥时要初始化这条边的长度。所以，现在有没有理解这个0和edges[i].cost?
- S = size[v.to]; 现在我们要分治v.to的这一颗子树，So，又将求重心的树的大小改为size[v.to];
到此为止，点分治就在这里讲完了，solve函数是看题目的，有能力的同学可以切一切这两道题（这两道题会在下面进行讲解）。luogu模板题 和聪聪可可.
三.例题分析
1.luogu模板题
题面在上面。
因为题目是要求路径长为k的路径条数，所以solve函数返回的是过x节点的长度为k的路径。
而这路径长度是可以用 \(O(n)\) 的方法求出
// luogu-judger-enable-o2
#include<bits/stdc++.h>
template <class T>
inline void read(T &a)
{
T s = 0, w = 1;
char c = getchar();
while(c < '0' || c > '9')
{
if(c == '-') w = -1;
c = getchar();
}
while(c >= '0' && c <= '9')
{
s = (s << 1) + (s << 3) + (c ^ 48);
c = getchar();
}
a = s*w;
}
template<class T> void chkmax(T &a, T b) {a > b ? (a = a) : (a = b);}
template<class T> void chkmin(T &a, T b) {a > b ? (a = b) : (a = a);}
template<class T> T min(T a, T b) {return a > b ? b : a;}
template<class T> T max(T a, T b) {return a < b ? b : a;}
int n,m;
int S;
int size[10101];
struct edge{
int from,to,cost,net;
edge(int f = 0, int t = 0, int cost = 0, int nex = 0)
{
from = f;
to = t;
this->cost = cost;
net = nex;
}
}edges[1010101];
int tot,head[101001],mx[101011],minn =0x3f3f3f3f,root;
int vis[1010110];
void add(int x, int y, int z)
{
edges[++tot] = edge(x,y,z,head[x]);
head[x] = tot;
}
void find(int x,int fa)
{
size[x] = 1;mx[x] = 0;
for (int i = head[x];i; i =edges[i].net)
{
edge v = edges[i];
if(v.to == fa || vis[v.to]) continue;
find(v.to,x);
size[x] += size[v.to];
chkmax(mx[x],size[v.to]);
}
chkmax(mx[x], S - size[x]);
if(mx[x] < mx[root])
{
root = x;
}
}
int que[1010110],ans[102210101];
int dis[1010101],hhd,a[10101101];
void get_dis(int x, int len, int fa)
{
dis[++hhd] = a[x];
for (int i = head[x]; i; i = edges[i].net)
{
edge v = edges[i];
if(vis[v.to]||v.to == fa) continue;
a[v.to] = len + edges[i].cost;
get_dis(v.to,len + edges[i].cost,x);
}
}
void solve(int s, int len, int w)
{
hhd = 0;
a[s] = len;
get_dis(s,len,0);
for (int i1 = 1; i1 <= hhd; i1++)
for (int i2 = 1; i2 <= hhd; i2++)
{
if(i1 != i2)
{
ans[dis[i1] + dis[i2]] += w;
}
}
}
void Divide(int x)
{
solve(x,0,1);
vis[x] = 1;
for (int i = head[x]; i; i = edges[i].net)
{
edge v = edges[i];
if(vis[v.to]) continue;
solve(v.to,edges[i].cost,-1);
S = size[x];root = 0; mx[0] = n;
find(v.to,x);
Divide(root);
}
}
int main()
{
read(n); read(m);
for (int i = 1; i < n; i++)
{
int x,y,z;
read(x); read(y); read(z);
add(x,y,z);
add(y,x,z);
}
S = n;mx[0] = n;root = 0;
// minn = 0x3f3f3f3f;
find(1,0);
// printf("%d\n",mx[root]);
Devede(root);
for (int i = 1; i <= m; i++)
{
int k;
read(k);
printf("%s\n",(ans[k]) ? "AYE" : "NAY");
//printf("%d\n",ans[k]);
}
return 0;
}
2.聪聪可可
这道题是来求长度被3整除的路径条数，但处理方法跟上一条不太一样。
我们可以设p[0],p[1],p[2]为除3余数为0,1,2的 路径条数。显然答案为\(p_0^2\) + \(p_1 * p_2 * 2\)
// luogu-judger-enable-o2
// luogu-judger-enable-o2
// luogu-judger-enable-o2
#include<bits/stdc++.h>
int gcd(int x, int y)
{
if(y == 0) return x;
return gcd(y,x%y);
}
template<class T>
inline void read(T &a)
{
T s = 0,w = 1;
char c = getchar();
while(c < '0' || c > '9')
{
if(c == '-') w = -1;
c = getchar();
}
while(c >= '0' && c <= '9')
{
s = (s << 1) + (s << 3) + (c ^ 48);
c = getchar();
}
a = s*w;
}
template<class T> void chkmax(T &a, T b){a > b? (a = a) : (a = b);}
template<class T> void chkmin(T &a, T b){a > b ? (a = b):(a = a);}
int n;
struct edge{
int from, to,cost,net;
edge(int f = 0, int t = 0, int c = 0, int n = 0)
{
from = f;
to = t;
cost = c;
net = n;
}
}edges[2010101];
static int head[20010],tot;
void add(int x, int y, int z)
{
edges[++tot] = edge(x,y,z,head[x]);
head[x] = tot;
}
static int vis[20010],size[20010],mx[20010],root,S;
void find(int x,int fa)
{
size[x] = 1; mx[x] = 0;
for (int i = head[x]; i ; i = edges[i].net)
{
edge v = edges[i];
if(v.to == fa||vis[v.to] ) continue;
find(v.to,x);
size[x] += size[v.to];
chkmax(mx[x],size[v.to]);
}
chkmax(mx[x],S-size[x]);
if(mx[x] < mx[root])
{
root = x;
}
}
int dis[20010],a[20010],cnt;
int ans,p[3];
void get_dis(int x, int fa)
{
// dis[++cnt] = a[x];
p[a[x]%3]++;
for (int i = head[x] ;i; i = edges[i].net)
{
edge v = edges[i];
if(v.to == fa ||vis[v.to] ) continue;
a[v.to] = a[x]+v.cost;
get_dis(v.to,x);
}
}
int solve(int x, int len)
{
a[x] = len;
//cnt = 0;
p[0] = p[1] = p[2] = 0;
get_dis(x,0);
return (p[0]*p[0] + 2 * p[1] * p[2]);
}
void Deved(int x)
{
ans+=solve(x,0);
vis[x] = 1;
for (int i = head[x];i;i = edges[i].net)
{
edge v = edges[i];
if(vis[v.to]) continue;
ans-=solve(v.to,edges[i].cost);
S = size[v.to]; root = 0;
find(v.to,x);
Deved(root);
}
}
int main()
{
//freopen("xx.in","r",stdin);
//freopen("xx.out","w",stdout);
read(n);
for (register int i = 1; i < n; i++)
{
int x,y,z;
read(x); read(y); read(z);
z%=3;
add(x,y,z);
add(y,x,z);
}
S = n;root = 0; mx[0] = n+1;
find(1,0);
Deved(root);
int pp = gcd(ans,n*n);
printf("%lld/%lld\n",ans/pp,n*n/pp);
// std::cerr<<std::clock()<<std::endl;
return 0;
}
来源：https://www.cnblogs.com/Ender-zzm/p/9465113.html