AcWing 876 快速幂求逆元

题目描述：

给定n组ai,pi，其中pi是质数,求ai模pi的乘法逆元，若逆元不存在则输出impossible。

注意：请返回在0∼p−1之间的逆元。

乘法逆元的定义

输入格式

第一行包含整数n。接下来n行，每行包含一个数组ai,pi，数据保证pi是质数。

输出格式

输出共n行，每组数据输出一个结果，每个结果占一行。若ai模pi的乘法逆元存在，则输出一个整数，表示逆元，否则输出impossible。

数据范围

1≤n≤10^5,1≤ai,pi≤2∗10^9

输入样例：

输出样例：

1
2
impossible

分析：

首先引入欧拉定理：

欧拉定理就是说对于两个互质的数a和n，a^phi(n)与1对模n同余。下面简单的证明下欧拉定理：设1到n中与n互质的数的集合为S = {p1,p2,...,pk}。设集合R = {a*p1%n,a*p2%n,...,a*pk%n}，假设R中存在两项a * pi ≡ a * pj (mod n)，则a * (pi - pj)≡ 0 (mod n)，又a与n互质，所以pi ≡ pj (mod n)，又pi和pj都是S中两个与n互质的整数，故不可能模n同余，故R中不存在两项相同的数，也就是说R中的数彼此互异且都与n互质，又因为mod n后都小于n，而1到n中与n互质的数全在S中，故S = R。故R中各项相乘得a^phi(n) * p1p2...pk ≡ p1p2...pk (mod n)故a^phi(n) ≡ 1 （mod n）。欧拉定理得证。

当n为质数时，phi(n) = n - 1,代入欧拉定理得到a^(n - 1) ≡ 1 （mod n），这就是费马小定理。

继续讲乘法逆元的定义，a / b ≡ a * x (mod m),在mod m前提下，对a除以b相当于对a乘上了x，则x就是b的模m乘法逆元。对等式两边都乘上b得到a ≡ a * x * b (mod m)，即x * b ≡ 1 （mod m）。又由费马小定理知b与m互质且m是质数时，a^(m - 1) ≡ 1 （mod m），故x = b^(m-2)。所以求乘法逆元只需要用快速幂求下b的m-2字方即可。

最后，如果b是m的倍数，则x * b ≡ 1 （mod m）不可能成立，此时乘法逆元不存在。

#include <iostream>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll binaryPow(ll a,ll b,ll p){
    ll ans = 1 % p;
    while(b){
        if(b & 1)  ans = ans * a % p;
        a = a * a % p;
        b >>= 1;
    }
    return ans;
}
int main(){
    int n;
    cin>>n;
    while(n--){
        int a,p;
        cin>>a>>p;
        if(a % p)   cout<<binaryPow(a,p - 2,p)<<endl;
        else    cout<<"impossible"<<endl;
    }
    return 0;
}

来源：CSDN

作者：昂昂累世士

链接：https://blog.csdn.net/qq_30277239/article/details/103706087

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互质