SVM的点滴 | 易学教程

SVM

普通SVM的分类函数可表示为：

其中ai为待优化参数，物理意义即为支持向量样本权重，yi用来表示训练样本属性，正样本或者负样本，为计算内积的核函数，b为待优化参数。

其优化目标函数为：

其中||w||用来描述分界面到支持向量的宽度，越大，则分界面宽度越小。C用来描述惩罚因子，而

则是用来解决不可分问题而引入的松弛项。

在优化该类问题时，引入拉格朗日算子，该类优化问题变为：

其中待优化参数ai在数学意义上即为每个约束条件的拉格朗日系数。

而MKL则可认为是针对SVM的改进版，其分类函数可描述为：

其中，Kk（xi，x）表示第K个核函数，

则为对应的核函数权重。

其对应的优化函数可以描述为：

在优化该类问题时，会两次引入拉格朗日系数，ai参数与之前相同，可以理解为样本权重，而

则可理解为核函数的权重，其数学意义即为对每个核函数引入的拉格朗日系数。具体的优化过程就不描述了，不然就成翻译论文啦~，大家感兴趣的可以看后面的参考文档。

通过对比可知，MKL的优化参数多了一层

其物理意义即为在该约束条件下每个核的权重。

Svm的分类函数形似上是类似于一个神经网络，输出由中间若干节点的线性组合构成，而多核学习的分类函数则类似于一个比svm更高一级的神经网络，其输出即为中间一层核函数的输出的线性组合。其示意图如下：

上图中，左图为普通SVM示例，而全图则为MKL示例。其中

通过寻求结构化风险最小来提高学习机泛化能力，实现经验风险和置信范围的最小化，从而达到在统计样本量较少的情况下，亦能获得良好统计规律的目的。对超平面中参数w和b 的求解，最后转换成了对偶因子的求解，总体思路就是：从最大间隔出发（目的本就是为了确定法向量w），转化为求对变量w和b的凸二次规划问题。
求分类函数f(x) =w· x+b 的问题转化到求最大分类间隔，继而再转化为对w、b 的最优化问题，即凸二次规划问题，妙
超平面(w,b) 关于训练数据集T的函数间隔为超平面(w,b) 关于T中所有样本点(xi,yi) 的函数间隔最小值，但是同比例增大w和b，函数间隔将变大，但是平面还是不变的，所以就将函数间隔变为几何间隔（函数间隔/|w|），可以认为函数间隔为人为定义的一个间隔度量，几何间隔为真正到超平面的距离，所以SVM算法就是最大化最小几何距离，因为说了函数间隔相当于是人为定义的一个间隔，所以最小的函数间隔可以定义为1，那么支持向量的函数间隔就为1（支持向量满足y（wx+b）=1），对于其他不是支持向量的点有y（wx+b）>1
支持向量不一定只有两个，可以大于等于2个支持向量
原始问题的最优化的问题变为了

这是一个二次优化问题（QP）（目标函数是二次的，约束条件是一次的），通过Lagrange对偶变换到对偶变量的优化问题

引入对偶问题的优点：对偶问题更容易求解，可以自然引入核函数，进而推广到非线性分类问题，直接处理不等式的约束是很困难的

关于什么是Lagrange对偶性？简单地来说，通过给每一个约束条件加上一个Lagrange乘

子，即引入Lagrange对偶变量
，如此我们便可以通过Lagrange函数将约束条件融和到目标函数里去（也就

是说把条件融合到一个函数里头，现在只用一个函数表达式便能清楚的表达出我们的问题）

核函数可以学习非线性支持向量机，等价于隐式地在高位的特征空间中学习线性支持向量机，这样的方法称之为核技巧
y（wx+b）表示分类的正确性和确信度
由于支持向量在确定分离超平面中起着决定性作用，所以将这种分类模型称之为支持向量机，支持向量的个数一般很少，所以支持向量由很少的“重要的”训练样本决定
对于近似线性可分的w的解释唯一的，但是b 的解不是唯一的，是存在于一个范围内的，但是对于硬支持向量机时w和b 的解是唯一的
对于软间隔的支持向量xi或者在间隔边界上，或者在间隔边界与分离超平面之间，或者在分离超平面误分的一侧，若a*i<C,支持向量 xi恰好落在间隔边界上，若a*i=C，0<§<1,则分类正确，xi在间隔超平面与分离超平面之间，若a*i=c，§i=1，则xi在分离超平面上，若a*i=c，§i>1,则xi位于分离超平面误分的一侧
核技巧的思想：在学习和预测中只定义核函数K（X,Z），而不显示的定义映射函数，通常计算K（X,Z）比较容易，计算映射函数然后计算核函数不容易，对于给定的核函数，特征空间H和银蛇函数的取法并不唯一，可以取不同的特征空间，对于同一特征空间也可以取不同的映射，学习是隐式在特征空间进行的，不需要显示地定义特征空间和映射函数，这样的技巧称为核技巧
通常所说的核函数都是正定核函数
对于线性可分的支持向量机称为LSVM
在求对偶问题的时候，经常会遇到最大最小问题，因此这里maxmin<=minmax的解，这是因为最小值中最大值是小于最大值中的最小值的
为什么对于非支持向量ai是等于0的，就是这些“后方”的点——正如我们之前分析过的一样，对超平面是没有影响的，由于分类完全有超平面决定，所以这些无关的点并不会参与分类问题的计算，因而也就不会产生任何影响了

注意到如果xi 是支持向量的话，(2.1.23)式中红颜色的部分是等于0的（因为支持向量的函数间隔等于1），而对于非支持向量来说，函数间隔会大于1，因此红颜色部分是大于零的，而αi 又是非负的，为了满足最大化，αi 必须等于0。这也就是这些非支持向量的点的局限性

支持向量机的处理方法是选择一个核函数κ(·,·)，通过将数据映射到高维空间，来解决在原始空间中线性不可分的问题。由于核函数的优良品质，这样的非线性扩展在计算量上并没有比原来复杂多少，这一点是非常难得的

支持向量机的分类函数的特性：它是一组以支持向量为参数的非线性函数的线性组合，因此分类函数的表达式仅和支持向量的数量有关，而独立于空间的维度，在处理高维输入空间的分类时，这种方法尤其有

效，因为对于非支持向量，其对应的系数ai=0；

如果没有核函数这一概念，那么就需要找那么映射将低维空间的向量映射到高维空间，这个函数一般不太容易找到，而且增加了编程的难度，代码的可复用性就小，映射到高纬的数据有可能造成维数灾难，所以这样并不是一个好方法，而对于使用了核函数的，

其中只需要⟨ϕ(xi), ϕ(x)⟩代替<xi,xj>内积的部分，这样可以使得代码的可复用性好，直接从线性推广到非线性的部分

核函数避免直接在高维空间进行计算，结果确是等价的

对于非线性分类器的理解：在有松弛的情况下，离群点也属于支持向量，对于不同的支持向量，Lagrange参数的值也是不同的，对于离群点，如果把它移动回来，就刚好落在原来的分割平面上了（通过移动后的数据，如果落在分割平面上就属于支持向量，（这是我自己的理解）），而不是的超平面发生变形
对于不同的支持向量，Lagrange参数的值也不同，如此篇论文“Large Scale Machine Learning”中图所示（图2.8），对于远离分类平面的点值为0；对于边缘上的点值在[0,1/L] 之间，其中，L为训练数据集个数，即数据集大小；对于离群点和内部的数据值为1/L
对于线性支持向量，有一个概念需要想清楚就是其中是需要优化的变量（之一），而C是一个事先确定好的常量
在支持向量机中ai的取值的意义：