博弈论小结 | 易学教程

博弈论问题一般是，两人都采取最优的策略进行博弈，判读两人胜负。

博弈论一般分为以下几种：

这只是一篇结论性的文章。。不会证明

预备知识

必胜态：当前状态按照最优策略一定必胜。

必败态：相反，就是必败态。

面临末状态是必败态（具体看题目要求，可能是必胜态）
一个状态是必胜态，必须满足：进行一个操作后，成为必败态
一个状态是必败态，必须满足：任何操作后，都是必胜态。

P-position：先手必败。上次move的人有必胜策略。即这次move的人必败。

N-position：先手必胜。这次move的人有必胜策略。

无法进行任何移动的局面为P-position;
可以移动到P-position的局面是N-position
所有移动都导致N-position的局面是P-position

巴什博奕

bash博弈，模型：n个物品，两个人轮流取，每次最少取1个，最多取m个，取到最后一个的人获胜。

如果n%(m+1)=0，先手必败。否则先手必胜。

威佐夫博弈

模型：威佐夫博弈（Wythoff's game）：有两堆各若干个物品，两个人轮流从某一堆或同时从两堆中取同样多的物品，规定每次至少取一个，多者不限，最后取光者得胜。

奇异局势：如果甲面对（0，0），那么甲已经输了，这种局势我们称为奇异局势。前几个奇异局势是：（0，0）、（1，2）、（3，5）、（4，7）、（6，10）、（8，13）、（9，15）、（11，18）、（12，20）。可以看出,a0=b0=0,ak是未在前面出现过的最小自然数,而 bk= ak + k。

奇异局势也就是P状态，处于此局势的人在策略最优的情况下必败。

有以下结论：

(a,b)和(b,a)的胜负性相同。
若(a,b)是P状态，则对于所有的x!=a 和y!=b，(x,b)和(a,y)是N状态。先手总可以
若(a,b)是P位置，则对于所有的d>0，(a+d,b+d)是N位置

奇异局势的性质：

1、在除(0,0)外的所有的P状态中，每个正整数恰好出现一次

2、每行第一个数是前面没有出现过的最小正整数

结论：一个状态奇异局势，$a_k =\lfloor k * \frac{1+\sqrt5}{2} \rfloor，b_k= a_k + k \ \ \ \ \ (k=0，1，2，…,n )$

斐波那契博弈

Fibonacci博弈模型：有一堆个数为n的石子，两个人轮流取石子，要求：

第一取石子中，先手不能把所有的石子取完
之后每次可以取的石子数最少1，最多到对手上次取的石子数的2倍

取走最后一个石子的人获胜。

结论：当n为斐波那契数时，按照最优策略，先手必败，否则先手必胜。

齐肯多夫定理（Zeckendorf）：任何正整数都可以表示为若干个不连续的斐波那契数之和。这个定理的证明参考度娘。举一个例子，斐波那契数列前几项是1,2,3,5,8,13,21,34,55,89...如n=83,83位于55与89之间，那么83=55+28，再将28分解，28位于21与34之间，28=21+7，以此类推，最后83=55+21+5+2。

Nim游戏

模型：n堆石子，第i堆有ai个石子，两人轮流取石子，每次最少取1个，最多取完一堆的石子。取走最后一个的获胜。

结论：如果a1 xor a2 xor ...xor an=0，那么先手必败(P),否则先手必胜(N)。

证明

SG函数

sg(x)等于，x的所有后继的sg值的mex(从0开始最小的没有出现过的数)。ICG游戏中sg=0表示P状态。

性质：

对于一个sg(x)=0的x，它的所有后继y都满足sg(y)!=0。 P
对于一个sg(x)!=0的x，必定存在一个后继sy满足g(y)=0。 N

一个游戏，可以分成n个子游戏，这个游戏的sg值为所有子游戏的sg的异或和。

比如nim游戏就是一个子游戏

Auti_SG

模型：桌子上有N堆石子，游戏者轮流取石子。每次只能从一堆中取出任意数目的石子，但不能不取。取走最后一个石子者败。

只是将胜负判断条件反了过来。

SJ定理(prague Grundy——Jia Zhihao)：先手必胜当且仅当：（1）游戏的SG函数不为0且游戏中某个单一游戏的SG函数大于1；（2）游戏的SG函数为0且游戏中没有单一游戏的SG函数大于1。

来源：https://www.cnblogs.com/mjtcn/p/8472436.html

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