线性代数之线性方程组

眉间皱痕 提交于 2019-12-21 16:52:10

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回忆学校的美好时光,顺便复习一下学校学过的知识吧。

1. 三种行初等变换

    倍加变换 (某一行的倍数加到另一行)

    对换变换 (两行交换)

    倍乘变换  (某一行所有元素乘以同一个非零数)

2. 行等价

    一个矩阵可经过一系列初等行变换成为另一个矩阵。

    行变换可逆。

3. 若两个线性方程组的增广矩阵行等价,则它们有相同的解集。

4. 简化行阶梯矩阵

    a) 非零行的先导元素为0

    b) 先导元素1是该元素所在列的唯一非零元素

    一个矩阵的简化行阶梯矩阵唯一。

5. 对应于主元列的变量称基本变量,其他变量称自由变量。

6. 向量的平行四边形法则

    若R2中的向量u,v用平面上的点表示,则u+v对应于u,v,0为三个顶点的平行四边形的第四个顶点。

    [思考:即使u,v不是R2而是R3甚至Rn中的向量,上述结论是否仍然成立?]

7. 向量方程

         x1a1+x2a2+...+xnan=b

    和增广矩阵如下的线性方程组

         [a1 a2 ... an b] 

    和矩阵方程

         Ax=b

    有相同的解集。

8. 方程Ax=b有解的条件:b是A的各列的线性组合。

9. 设A为mxn矩阵,以下命题等价:

    a) 对Rm中每个b,Ax=b有解

    b) Rm中的每个b都是A的列的一个线性组合

    c) A的各列生成Rm(Rm = Span{A各列})

    d) A在每一行都有一个主元位置(注意是A的每一行,*不*是A的增广矩阵的每一行)

10. 方程Ax=0有非平凡解的条件:至少有一个自由变量。

11. 如果非齐次方程有多个解,其解可表示为一个向量(这个向量也是非齐次方程的特解)加上相应的齐次方程的解。

      或者说:非齐次方程解 = 该方程特解 + 对应的齐次方程的通解

12. 若一组向量v1,v2,...,vn组成的向量方程

      x1v1+x2v2+...+xnvn = 0

      仅有平凡解,则这些向量线性无关;否则这些向量线性相关。

      同样,仅当矩阵方程Ax=0仅有平凡解,A的各列线性无关。

13. 单个的零向量线性相关,因为0x=0有非平凡解;同理,单个的非零向量线性无关。含有零向量的向量组必定线性相关。

14. 向量集线性相关,则其中至少一个向量是其他向量的线性组合;但该集合中也有可能存在不能表示为其他向量线性组合的向量。

15. 若向量组中的向量个数超过每个向量的元素个数,那么这个向量组必定线性相关。

     (直观上,向量越“多”,越容易“相关”。从阶梯矩阵角度,上面所述情况必有自由向量。)

16. 仅存在两个向量的向量集是否线性相关很好判断:看一个是否是另一个的倍数就可以了。

17. 矩阵A与向量x的积,就是A的各列以x中对应元素为权的线性组合。下式中,A为矩阵,x为向量,xn为向量元素,an为矩阵列。

      Ax = x1a1+x2a2+...+xnan

18. 设u,v是R3中的线性无关向量,那么span{v}是过零点和v的直线,span{u,v}是过u,v,0的平面。

19. 矩阵乘法Ax=b的另一种理解是,将矩阵A作用于向量x,产生新向量b。解方程Ax=b就是求出Rn中所有经过A的“作用”后变为b的向量x。

20. 符号T:Rn->Rm说明T的定义域是Rn,余定义域是Rm。T(x)的集合是T的值域。

     (mxn矩阵实现Rn->Rm

21.  由Rn到Rm的每个线性变换都是矩阵变换,反之亦然(每个矩阵变换都是线性变换)。即对于线性变换Rn->Rm,存在唯一矩阵A使得T(x)=Ax(对Rn中一切x )。

       A可按下式求得:

        A = [T(e1)  T(e2)  ...  T(en)] 

        其中ej是单位矩阵In的第j列。A称为线性变换T的标准矩阵。

22. 若T的值域是整个余定义域,T是满射;若T是一对一的,T是单射。

23. 线性映射T是一对一的条件:Ax=0仅有平凡解。

     解释:映射一对一 ==> 方程Ax=b至多一个解 ==> 方程Ax=b的解没有自由变量 ==> Ax=0仅有平凡解。

24. 若T为线性变换,A为T的标准矩阵,那么:

      当且仅当A的列生成Rm时,T把Rn映上到Rm(即将Rn映射到Rm上,满射);

      当且仅当A的列线性无关时,T是一对一的。

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