如何判断某字符串包含某字符串？
首先，我们需要了解一下朴素匹配算法，这个算法要求主串循环遍历，在遍历主串的时候，最差的情况是每匹配一个主串的字符，子串都需要匹配s次，因此假设主串为M(m)，子串为S(s)，那么时间复杂度O(n) = (m-s)*s + s，由此我们可以看到这个时间复杂度并不是很理想。
例如：下表中，主串第1个字符匹配后与之后的3个字符，一共匹配4次，然后第2个字符再进行类似的匹配，依次到结束
由此，Knuth，Morris，Pratt发明了一种更优秀的匹配方式，这种方式就是KMP算法。
KMP算法思想：保持主串M(m)不回溯，只移动S(s)子串，也就是主串匹配到某个字符如果不匹配的情况下，主串不会再回到之前与子串匹配的首个字符从其后一个字符开始，而是直接从当前不匹配的字符开始重新与子串匹配，子串则从next数组中查找，看回缩到哪一位，可能子串并非是从第1位开始的，而此算法最坏的情况下，最多M(m)的每个字符匹配两次，因此，此算法的时间复杂度为O(2m)。
例：下表，建议先了解next后再对比此表，第3位为2次是因为第一次与c匹配不等，然后S(s)回溯将A移动到M(m)的第三位再匹配一次，因此2次。
next数组的意义：在使用KMP算法中，我们会用到next这个数组，用来存储主串中不匹配字串，对应的字串位置会回溯到什么位置。
例1：
例2：(如果在j=5的时候与主串不匹配，那么它下一个S(j),就是从next[5]=2开始，也就是此时主串这个位置与j = 2的字符在进行匹配，如果还是不一样,再从next[2] = 1开始再匹配，也就是也就是此时主串这个位置与j = 1的字符在进行匹配，依次类推)
解析：
（1）next[1] = 0，对照上面公式可知；
（2）next[2] = 1，对照上面公式，1~j-1没有前后缀一致的字符，为其他，所以next[1] = 1；
（3）next[3] = 1，同（2）；
（4）next[4] = 1，同（2）；
（5）next[5] = 2，在1~j-1中，j=5，由与P1=P4，根据公式P1=P4 = Pj-k+1，由此可得4 = 5 - k +1，推出k = 2；
（6）next[6] = 3，在1~j-1中，j=6，由与P1P2=P4P5，根据公式，推出k = 3。
KMP算法改进：为什么要改进呢？他存在什么缺点？假设S(s) = ‘AAAAAB’，那么它的next如下：
例：可知该表的如果在j=6的时候主串与子串不匹配的话，那么j就会回溯到5，再到4，最后到1，那么这种情况与朴素匹配算法其实相差不大了，因为每个主串字符匹配的次数相当于趋向m*n；
例：改进后加入newnext，如何取newnext存储的值，三元表达式判断
newnext[j] = (S[j] == S[next[j]] ? newnext[next[j]] : Max{k | 0 < k <j, 且’P1…Pk-1’ = ‘Pj-k+1…Pj-1’})
就是S[j] == S[next[j]] ，取newnext[j] = newnext[next[j]] ,如果不等再用公式计算。
（1）next[1] = 0，对照上面公式可知；
（2）next[2] = 0，因为S[2] = S[1] ,因此newnext[2] = next[1] = 0；
（3）next[3] = 0，同（2）；
（4）next[4] = 0，同（2）；
（5）next[5] = 0，同（2）；
（6）next[6] = 5，在1~j-1中，j=6，由与P1P2P3P4=P2P3P4P5，根据公式，推出k = 5。
来源：CSDN
作者：三千炼心
链接：https://blog.csdn.net/weixin_44919928/article/details/103609700