《概率论》（当年我学习的课程为《概率论与数理统计》，涵盖了概率论与统计学）应该是每个理工科大学生都要学习的课程，不知道有多少同学和我一样，学得一头雾水。悲催的是，考研的时候又学习了一遍，依然不着门路，靠死记硬背过关。好在后面的学习和工作生涯中，再没有和它打过照面，直到最近开始接触机器学习。
《机器学习实战》第4章，开始介绍基于概率论的分类方法。其实《机器学习》这本书对贝叶斯决策论有比较详细的介绍，不过涉及到比较多的数学公式，比较难懂。而本书对程序员比较友好，只涉及很少的数学知识，更多的是通过程序来阐述这一算法。
条件概率
书中举了一个例子来阐述条件概率的概念。7块石头，3块是灰色的，4块是黑色的，放入两个桶A和B，A桶放4块石头（2块灰色，2块黑色），B桶放3块石头（1块灰色，2块灰色）。计算从B桶中取到灰色石头的概率的方法，就是所谓的条件概率。这里的已知条件是石头取自B桶且B桶有3块石头。用公式表示为：
P(gray | bucketB) = P(gray and bucketB) / P(bucketB)
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这个公式看起来不起眼，但却开启了一门新的理论，即通过先验知识和逻辑推理来处理不确定命题。另一种概率解释称为频数概率，它只从数据本身获取结论，并不考虑逻辑推理及先验知识。
另一种有效计算条件概率的方法称为贝叶斯准则。贝叶斯准则告诉我们如何交换条件概率中的条件和结果，即如果已知P(x | c)，要求P(c | x)。其公式为：
朴素贝叶斯
朴素贝叶斯有两个简单的假设：
特征之间相互独立。所谓独立指的是统计意义上的独立，即一个特征出现的可能性与其它特征值无关。
每个特征同等重要。
尽管上述假设存在一些小瑕疵，但朴素贝叶斯的实际效果很好。使用公式表示如下：
P(W0, W1, W2, ..., WN | c) = P(W0|c)*P(W1|c)*...*P(WN|c)
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修正算法
利用贝叶斯分类器对文档进行分类时，要计算多个概率的乘积以获得文档属于某个类别的概率，即计算P(W0|1)P(W1|1)P(W2|1)。如果其中一个概率值为0，那么最后的乘积也为0。为降低这种影响，可以将所有词的出现数初始化为1，并将分母初始化为2。
另外还要处理下溢出问题，这是因为太多很小的数相乘，最后结果可能会四舍五入，得到0。解决的方法是利用代数中的公式：
ln(a*b) = ln(a) + ln(b)
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通过求对数避免下溢出或者浮点数舍入导致的错误。采用自然对数进行处理不会有任何损失。
留存交叉验证（hold-out cross validation）
随机选择数据的一部分作为训练集，而剩余部分作为测试集的过程成为留存交叉验证。如果想更精确的估计分类器的错误率，可以进行多次迭代后求出平均错误率。
4.7章节的示例无法使用，原因在于代码中使用的RSS源已经不存在。我对这个示例做了修改，用来显示垃圾邮件中使用最多的词语。另外在这个示例中会去掉出现次数最高的30个词，如果将这个应用在垃圾邮件过滤，错误率反而会提高，但如果只是去掉10个最常用词，结果一致。
可见，即使采用同样的算法，我们还是可以采用不同的修正方法，进行微调，对最后的错误率有一些影响。
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