算法导论第7章课后习题

7.2-4 银行经常按照交易时间，来记录有关某一账户的交易情况，但是，很多人喜欢按照票据号来收到其银行对账单。因此，如何将按交易时间排序转换成按支票编号来排序，就成为一个对几乎排好序的输入进行排序的问题。证明在这个问题上，过程INSERT-SORT的性能往往优于过程QUIKSORT。

问题解析：

对于QUIKSORT来说，输入一个已排序的数组属于最坏的情况，则每次区间划分都是最大程度的不对称。其算法运行的递归时间为T(n) = T(n-1) + Θ(n)，算法时间复杂度为Θ(n^2)；而对INSERT-SORT来说，输入一个已排序的数组却属于最佳的情况，算法时间复杂度为O(n)。也就是说当输入一个几乎排好序的数组，快速排序趋于最坏的情况，而插入排序却趋于最佳的情况。为降低这种最坏情况出现的概率，采用快速排序随机化版本，期望的运行时间为O(nlgn)。

7.3-2 在过程RANDOMIZED-QUIKSORT的运行过程中，最坏情况下对随机排序产生器RANDOM调用了多少次？最佳情况下调用了多少次？以Θ记号形式个给出你的答案。

问题分析：

随机快速排序中，只要区间包含元素数目大于1，则需调用RANDOMIZED-PARTITION，选取主元（pivot）进行区间划分，而主元的选取需调用Random。主元（pivot）一旦被选出来后，就不会在加入到后续的排序了。直白来说就是，有多少次主元（pivot）选取就有多少次随机数生成。另一方面从算法的递归二叉树树上来看，递归树二叉树的非叶子节点可表示一个主元（pivot）；而叶子节点分为两种，一种节点是包含0个元素，另一种节点是包含1个元素，而且该元素不是主元（pivot）。非叶子节点和包含1个元素的叶子节点的数目之和就是输入序列的大小n。即递归树的非叶子节点的数目就是调用RANDOM的次数。调用RANDOM次数T(RANDOM)≤n，即T(RANDOM)=O(n)。

　　又根据二叉树的性质，对于任意一棵二叉树，如果其叶结点数为a，而度数为2的结点（非叶子节点）总数为b，则a=b+1；对于快速排序的递归二叉树中，非叶子节点度数均为2。假设含有0个元素的叶子节点数目a0（≥0），含有1个元素的叶子节点数目为a1，所以 b =a-1 ≥ a1 - 1；又b+a1 = n，可得 b ≥ n/2 - 1，即T(RANDOM)=Ω(n)。

　　总的来说T(RANDOM)=Θ(n)

思考题：

7-3 Howard、Fine等教授提出了下面的“漂亮的”排序算法。

STOOGE-SORT(A, i, j)

1       if A[i]>A[j]
2           then exchange A[i]<->A[j]
3         if i+1>=j
4           then return
5         k<-floor((j-i+1)/3)
6         STOOGE-SORT(A, i, j-k)
7         STOOGE-SORT(A, i+k, j)

8 STOOGE-SORT(A, i, j-k)

a) 证明：如果n=Length[A]，那么STOOGE-SORT(A, 1, Length[A])能正确地对输入数组A[1..n]进行排序。

b) 给出一个表达STOOGE-SORT最坏情况的运行时间的递归式，以及关于最坏情况运行时间的一个紧确的渐进（Θ记号）界。

a).算法分析：

循环不变式：调用STOOGE-SORT(A, i, j)后，数组A[i...j]已有序。

初始化：当i+1 ≥ j，则A[i, j]包含1个或2个元素。通过1和2行的比较和交换，然后直接返回即可。

保持：假设STOOGE-SORT(A, i, j)内的递归调用STOOGE-SORT(A, i, j-k)、STOOGE-SORT(A, i+k, j)、STOOGE-SORT(A, i, j-k)均满足循环不变式。

对区间A[i...j]进行划分

A1=A[i...i+k-1],

A2 = A[i+k...j-k],

A3=A[j-k+1, j] ，

且

A[i...j-k] = [A1, A2]

A[i+k...j] = [A2, A3]

A[i...j] = [A1, A2, A3]

因为k=floor( (j-i+1)/3 )，所以 3k ≤ j-i+1 ≤ 3k+2 　　·····························(1)

length[A1] = length[A3] = k

length[A2] = j-i+1-2k

由(1)式得，k ≤ length[A2] ≤ k+2 ·····························(2)

行6中调用STOOGE-SORT(A, i, j-k)，执行结果是[A1, A2]升序排序，且A1 ≤ A2（表示A2所有元素均大于A1中的元素）。由(2)式中k ≤ length[A2]，所以 [A1, A2] 的k个最大值一定在A2中。由此推知，[A1, A2, A3]的k个最大值一定在[A2, A3]中。

行7中调用STOOGE-SORT(A, i+k, j)，执行结果是[A2, A3]升序排序，且A2 ≤ A3（表示A3所有元素均大于A2中的元素）， A3包含 [A2, A3]的k个最大值。结合对行6的分析可得，A3包含[A1, A2, A3]的k个最大值，A1 ≤ A3 and A2 ≤ A3。

行8中调用STOOGE-SORT STOOGE-SORT(A, i, j-k)类似对行6的分析可得A1 ≤ A2。

所以A1 ≤ A2 ≤ A3，且A1、A2、A3数组内部已有序。所以[A1, A2, A3]（即A[i...j]）已有序。

终止：STOOGE-SORT(A, 1, n) 执行完后，可使数组 A 有序，算法是正确的。

b).复杂度分析：

可推得STOOGE-SORT递归式为：

T(n) = 3T(2*k) + O(1)，k=floor( n/3 )

忽略边界条件可得，

T(n) = 3T(2n/3) + c

由主定理可得

a = 3 , b = 3/2, f(n) = c

满足主定理第一种情况，所以T(n) = Θ(n^log(2/3, 3))

7.4 7.1节中的QUICKSORT算法包含有两个对自身递归调用。在调用PARTITION后，左边的子数组和右边的子数组分别被递归排序。

QUICKSORT中第二次递归调用并不是必须的；可以用迭代控制结构来代替它。这种技术称作尾递归，对多数的编译程序都加以了采用。

考虑下面合格快速排序的版本，它模拟了尾递归：

QUICKSORT'(A, p, r)

1 while p < r

2 do ▸ Partition and sort left subarray.

3 q ← PARTITION(A, p, r)

4 QUICKSORT'(A, p, q - 1)

5 p ← q + 1

a）论证QUICKSORT'(A, 1, length[A])能正确地对数组A进行排序。

b）请给出一种在含有n个元素的输入数组上QUICKSORT'的栈深度为Θ(n)的情况。

c）修改QUICKSORT'的代码，使其最坏情况下栈深度为Θ(lgn)，保持算法的O(nlgn)期望运行时间不变。

a) 省略

b）问题分析：由于QUICKSORT'只是将一般快速排序算法中第二次递归调用替换为迭代控制结构，并未改变区间的划分方式。迭代控制结构（while）不断对左侧区间进行递归调用，对右侧区间进行再次划分，循环往复，直到右侧区间为空或只剩包含1个元素。

设QUICKSORT'(A, p, r)算法迭代深度为D(A[p…r]). 且while循环一共运行了m次（即在m次循环后q≥r）。在while循环迭代中 r 值一直不变，设第i次循环开始时p=p_i， PARTITION选取的主元为q=q_i。由行5可得 p_i= q_i-1+ 1。令q₀= p - 1。