浮点数在计算机中的存储方式

文章参考地址：http://www.cnblogs.com/xugang/archive/2010/05/04/1727431.html

C语言和 C#语言中，对于浮点型的数据采用单精度类型(float)和双精度类型(double)来存储：

float 数据占用 32bit；

double 数据占用 64bit；

我们在声明一个变量 float f = 2.25f 的时候，是如何分配内存的呢？

其实不论是 float 类型还是 double 类型，在存储方式上都是遵从IEEE的规范：

float 遵从的是 IEEE R32.24；

double 遵从的是 IEEE R64.53；

 

单精度或双精度在存储中，都分为三个部分：

符号位 (Sign)：0代表正数，1代表为负数；

指数位 (Exponent)：用于存储科学计数法中的指数数据；

尾数部分 (Mantissa)：采用移位存储尾数部分；

 

单精度 float 的存储方式如下：

双精度 double 的存储方式如下：

R32.24 和 R64.53 的存储方式都是用科学计数法来存储数据的，比如：

8.25  用十进制表示为：8.25 * 10⁰

120.5 用十进制表示为：1.205 * 10²

而计算机根本不认识十进制的数据，他只认识0和1。所以在计算机存储中，首先要将上面的数更改为二进制的科学计数法表示：

8.25   用二进制表示为：1000.01

118.5 用二进制表示为：1110110.1

 

而用二进制的科学计数法表示 1000.1，可以表示为1.0001 * 2³

而用二进制的科学计数法表示 1110110.1，可以表示为1.1101101 * 2⁶

任何一个数的科学计数法表示都为1. xxx * 2ⁿ ，尾数部分就可以表示为xxxx，由于第一位都是1嘛，干嘛还要表示呀？所以将小数点前面的1省略。

由此，23bit的尾数部分，可以表示的精度却变成了24bit，道理就是在这里。（float有效位数相应的也会发生变化,而double则不会，因达不到）

 

那 24bit 能精确到小数点后几位呢？我们知道9的二进制表示为1001，所以 4bit 能精确十进制中的1位小数点，24bit就能使 float 精确到小数点后6位；

而对于指数部分，因为指数可正可负(占1位)，所以8位的指数位能表示的指数范围就只能用7位，范围是:-127至128。所以指数部分的存储采用移位存储，存储的数据为元数据 +127。

注意：

元数据+127：大概是指“指数”从00000000开始（表示-127）至11111111（表示+128）

所以，10000000表示指数1 (127 + 1 = 128 --> 10000000 ) ；

指数为 3，则为 127 + 3 = 130，表示为 01111111 + 11 = 10000010 ；

 

下面就看看 8.25 和 118.5 在内存中真正的存储方式:

8.25 用二进制表示为：1000.01

8.25 用二进制的科学计数法表示为: 1.0001* 2³ ，按照上面的存储方式：

    符号位为：0，表示为正；

    指数位为：3+127=130，即 10000011；

    尾数部分为：0001；

故8.25的存储方式如下图所示：

 

而单精度浮点数118.5的存储方式如下图所示：

那么如果给出内存中一段数据，并且告诉你是单精度存储的话，你将如何知道该数据的十进制数值呢？

其实就是对上面运算的反推过程，比如给出如下内存数据：01000010111011010000000000000000，

首先我们现将该数据分段：0  10000101  11011010000000000000000，在内存中的存储就为下图所示：

根据我们的计算方式，可以计算出这样一组数据表示为：

1.1101101*2^(133-127=6) =1.1101101 * 2⁶ = 1110110.1=118.5

 

而双精度浮点数的存储和单精度的存储大同小异，不同的是指数部分和尾数部分的位数。所以这里不再详细的介绍双精度的存储方式了，只将118.5的最后存储方式图给出：

下面就这个知识点来解决一个疑惑，请看下面一段程序，注意观察输出结果：

class 浮点数
    {
        static void Main(string[] args)
        {
            float f = 2.2f;
            double d = (double)f;
            Console.WriteLine(d.ToString("0.0000000000000"));
            //结果："2.2000000476837"

            f = 2.25f;
            d = (double)f;
            Console.WriteLine(d.ToString("0.0000000000000"));
            //结果："2.2500000000000"

            //2.25 - 2.2 = 0.05 ( 但实际结果不是0.05 )
            float f2 = 2.25f - 2.2f;
            Console.WriteLine(f2.ToString("0.0000000000000"));
            //结果："0.0499999500000"
        }
    }

输出的结果可能让大家疑惑不解：

单精度的 2.2 转换为双精度后，精确到小数点后13位之后变为了2.2000000476837

而单精度的 2.25 转换为双精度后，变为了2.2500000000000

为何 2.2 在转换后的数值更改了，而 2.25 却没有更改呢？

其实通过上面关于两种存储结果的介绍，我们大概就能找到答案。

2.25 的单精度存储方式表示为：0 10000001 00100000000000000000000

2.25 的双精度存储方式表示为：0 10000000 0010010000000000000000000000000000000000000000000000000

这样 2.25 在进行强制转换的时候，数值是不会变的。

而我们再看看 2.2，用科学计数法表示应该为：

将十进制的小数转换为二进制的小数的方法是：将小数*2，取整数部分。

0.2×2=0.4，所以二进制小数第一位为0.4的整数部分0；

0.4×2=0.8，第二位为0.8的整数部分0；

0.8×2=1.6，第三位为1；

0.6×2=1.2，第四位为1；

0.2×2=0.4，第五位为0；

...... 这样永远也不可能乘到=1.0，得到的二进制是一个无限循环的排列 00110011001100110011...

 

对于单精度数据来说，尾数只能表示 24bit 的精度，所以2.2的 float 存储为:

但是这种存储方式，换算成十进制的值，却不会是2.2。

 

因为在十进制转换为二进制的时候可能会不准确（如：2.2），这样就导致了误差问题！

并且 double 类型的数据也存在同样的问题！

所以在浮点数表示中，都可能会不可避免的产生些许误差！

在单精度转换为双精度的时候，也会存在同样的误差问题。

 

而对于有些数据（如2.25），在将十进制转换为二进制表示的时候恰好能够计算完毕，所以这个误差就不会存在，也就出现了上面比较奇怪的输出结果。

来源: http://www.cnblogs.com/jillzhang/archive/2007/06/24/793901.html

      本人对其中的一些细节和错误进行了精心的调整。

来源：https://www.cnblogs.com/wuyuan2011woaini/p/4105765.html