一 线性方程组 Ax=b 的解释
线性方程组 Ax=b，其中矩阵 A 尺寸为 m*n, 当 A 为方正时，可使用消元法判断解是否存在并求解。当 A 为长方形矩阵时，同样可使用消元法判断解存在情况并求解。
线性方程组 Ax=b 可以使用不同观点看待：
1）可看作函数 f(x)=b,即输入任意 n 维向量 x，经过矩阵 A 变换处理，输出 m 维向量 b，即向量 b 由向量 x 通过矩阵 A 线性变换得到；
2）令 
， 
，Ax=b 可表示为 
，进一步改写得 
，
当 b 是矩阵 A 列向量 
的线性组合时，或者 b 在矩阵 A 列空间时，Ax=b 可解，否则 Ax=b 不可解；
3）当矩阵 A 存在左逆 B 时，BA=I，则有 BAx=Bb，x=Bb；当矩阵A存在右逆 C 时，AC=I， 则有 Ax=ACb，x=Cb；求解线性方程组转换为求矩阵 A 是否存在左逆或者右逆，以及其逆是否唯一；
4）当向量 
满足 
时，则向量 
位于矩阵 A 的零空间，令 
为 Ax=b 的一个特解，则有 
成立，也即 Ax=b 的解为 
；
二 矩阵 A 的四个子空间
考虑矩阵 A 为 m*n，该矩阵由 n 个 m 维列向量构成，
1）对 n 个列向量进行任意线性组合 
， 其中 
为任意实数序列，则向量 a 构成的集合为矩阵 A 的列空间，表示为 C(A)；
2）对 m 个行向量进行线性组合 
，其中 
为任意实数序列，则向量 b 构成的集合为矩阵 A 的行空间，表示为 
；
3）求解 Ax=0，解 x 构成的集合为矩阵 A 的零空间，表示为 N(A)；矩阵 A 的行空间与矩阵 A 的零空间为 
下相互正交的子空间；观察方程组 Ax=0 表示为矩阵 A 每一行与向量 x 点积为零，则任意行空间中向量与任意零空间中向量点积为零，表明两个子空间正交；
4）求解 
，解 y 构成的集合为矩阵 A 的左零空间，表示为 
；矩阵 A 的列空间与矩阵 A 的左零空间为 
下相互正交的子空间；观察方程组 
表示为向量 y 与矩阵 A 的每一列点积为零，则任意左零空间的向量与任意列空间中的向量点积为零，表明两个子空间正交；
以上给出矩阵 A 的四个子空间，通过高斯消元法将矩阵 A 化为 U（反向消元可进一步化为 R），可以得到矩阵 A 的四个子空间的维度，以及各个子空间的基。