问题 1110: 2^k进制数
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题目描述
设r是个2^k 进制数,并满足以下条件:
(1)r至少是个2位的2^k 进制数。
(2)作为2^k 进制数,除最后一位外,r的每一位严格小于它右边相邻的那一位。
(3)将r转换为2进制数q后,则q的总位数不超过w。
在这里,正整数k(1≤k≤9)和w(k〈w≤30000)是事先给定的。
问:满足上述条件的不同的r共有多少个?
我们再从另一角度作些解释:设S是长度为w 的01字符串(即字符串S由w个“0”或“1”组成),S对应于上述条件(3)中的q。将S从右起划分为若干个长度为k 的段,每段对应一位2^k进制的数,如果S至少可分成2段,则S所对应的二进制数又可以转换为上述的2^k 进制数r。
例:设k=3,w=7。则r是个八进制数(2^3=8)。由于w=7,长度为7的01字符串按3位一段分,可分为3段(即1,3,3,左边第一段只有一个二进制位),则满足条件的八进制数有:
2位数:高位为1:6个(即12,13,14,15,16,17),高位为2:5个,…,高位为6:1个(即67)。共6+5+…+1=21个。
3位数:高位只能是1,第2位为2:5个(即123,124,125,126,127),第2位为3:4个,…,第2位为6:1个(即167)。共5+4+…+1=15个。
所以,满足要求的r共有36个。
输入
只有1行,为两个正整数,用一个空格隔开:
k w
输出
1行,是一个正整数,为所求的计算结果,即满足条件的不同的r的个数(用十进制数表示),要求最高位不得为0,各数字之间不得插入数字以外的其他字符(例如空格、换行符、逗号等)。
(提示:作为结果的正整数可能很大,但不会超过200位)
样例输入
3 7
样例输出
36
提示
无
代码
#include<iostream> #include<cstdio> #include<algorithm> #include<cstring> #include<cstdlib> using namespace std; const int N=60; const int Mx=500; const int MAXN=600+10; struct hp { int num[N]; hp & operator = (const char*); hp & operator = (int); hp(); hp(int); hp operator + (const hp &) const; hp operator - (const hp &) const; hp operator * (const hp &) const; hp operator / (const hp &) const; bool operator > (const hp &) const; bool operator <= (const hp &) const; hp & operator += (const hp &); }; hp Cc[520]; hp one; bool hp::operator > (const hp &b) const //比较 { if(num[0]!=b.num[0]) return num[0]>b.num[0]; for(int i=num[0];i>=1;i--) { if(num[i]!=b.num[i]) return (num[i]>b.num[i]); } return false; } hp & hp::operator +=(const hp &b) {return *this=*this+b;} bool hp::operator <= (const hp &b) const {return !(*this>b);} hp & hp::operator = (const char *c) { memset(num,0,sizeof(num)); int n=strlen(c),j=1,k=1; for(int i=1;i<=n;i++) { if(k==10000) j++,k=1; num[j]+=k*(c[n-i]-'0'); k*=10; } num[0]=j; return *this; } hp & hp::operator = (int a) { char s[Mx]; sprintf(s,"%d",a); return *this=s; } hp::hp() {memset(num,0,sizeof(num));num[0]=1;} hp::hp(int n) {*this=n;} hp hp::operator +(const hp &b) const //加法 { hp c; c.num[0]=max(num[0],b.num[0]); for(int i=1;i<=c.num[0];i++) { c.num[i]+=num[i]+b.num[i]; if(c.num[i]>=10000) { c.num[i]-=10000; c.num[i+1]+=1; } } if(c.num[c.num[0]+1]>0) c.num[0]++; return c; } hp hp::operator - (const hp &b) const //减法 { hp c; c.num[0]=num[0]; for(int i=1;i<=c.num[0];i++) { c.num[i]+=num[i]-b.num[i]; if(c.num[i]<0) { c.num[i]+=10000; c.num[i+1]--; } } while(c.num[c.num[0]]==0&&c.num[0]>1) c.num[0]--; return c; } hp hp::operator * (const hp &b) const //乘法 { hp c; c.num[0]=num[0]+b.num[0]+1; for(int i=1;i<=num[0];i++) { for(int j=1;j<=b.num[0];j++) { c.num[i+j-1]+=num[i]*b.num[j]; c.num[i+j]+=c.num[i+j-1]/10000; c.num[i+j-1]%=10000; } } while(c.num[c.num[0]]==0&&c.num[0]>1) c.num[0]--; return c; } hp hp::operator / (const hp& b) const //二分优化除法 { hp c,d; c.num[0]=num[0]+b.num[0]+1; d.num[0]=0; for(int i=num[0];i>=1;i--) { memmove(d.num+2,d.num+1,sizeof(d.num)-sizeof(int)*2); d.num[0]++; d.num[1]=num[i]; int l=0,r=9999,mid; while(l<r) { mid=(l+r)>>1; if(b*hp(mid)<=d) l=mid+1; else r=mid; } c.num[i]=r-1; d=d-b*hp(r-1); } while(c.num[c.num[0]]==0&&c.num[0]>1) c.num[0]--; return c; } ostream & operator << (ostream & o,hp &n) //输出 { o<<n.num[n.num[0]]; for(int i=n.num[0]-1;i>=1;i--) { o.width(4); o.fill('0'); o<<n.num[i]; } return o; } int main() { one=1; int k,w; cin>>k>>w; int x1=w/k; int x2=w%k; int M=(1<<k)-1; hp ans; hp b,v; Cc[0]=1; for(int i=1;i<=min(x1,M);i++){ //预处理了∑ C(2^k-1,i)(2<=i<=w/k) , b=(M-i+1); v=i; Cc[i]=Cc[i-1]*b/v; } for(int i=2;i<=min(x1,M);i++) { ans=ans+Cc[i]; } int M2=(1<<x2)-1; Cc[M]=Cc[min(x1,M)]; for(int i=1;i<=M2;i++) { b=(M-i+1-x1); v=(M-i+1); Cc[M-i]=Cc[M-i+1]*b/v; //倒序计算∑ C(2^k-1-val,w/k)(1<=val<=2^(w mod k)-1) ,通过后一个数推前一个数。 ans=ans+Cc[M-i]; } cout<<ans<<endl; return 0; }
思路
高精度压位计算。 重载了+,-,*,/;
摘自Mr.black的解析:https://www.cnblogs.com/Blacko/p/3380675.html
作为2^k 进制数,除最后一位外,r的每一位严格小于它右边相邻的那一位。
其实这是在暗示组合数,
显然r中的不会有相同的位
如果每一位都不同,显然只有严格递增的排列是合法的
这便是组合- =,
将 r 转化成这种形式(设k为3) 000 000 000 000
显然除首位外每一位的取值范围为 000 to 111(2^k-1)
在首位为0的情况下,最多可取 w/k 位,且题目要求大于2位,
则在首位为0的合法解有 ∑ C(2^k-1,i)(2<=i<=w/k) ,
Ps. 如果 w 模 k 等于 0 仅考虑上述情况即可。
考虑首位不为0的情况
显然首位不为0的话,r 就有 w/k+1 位,
除首位外还有w/k位,
可以枚举首位的取值范围为 1 to 2^(w mod k)-1
设首位取值为 val
则剩下 w/k 位 取值范围为 val+1 to 2^k-1
也就是有 2^k-1-val 个数可取
所以首位不为0的合法解有 ∑ C(2^k-1-val,w/k)(1<=val<=2^(w mod k)-1)
所以上述两者相加便是正解(需要高精运算)
神犇的解法更简单高效。
Ps: 涉及高精度的计算,若是高精与低精度的数值运算,都要先把低转为高。