100天搞定机器学习|Day57 Adaboost知识手册(理论篇)

Boosting算法

Boosting是一种用来提高弱分类器准确度的算法，是将“弱学习算法“提升为“强学习算法”的过程，主要思想是“三个臭皮匠顶个诸葛亮”。一般来说，找到弱学习算法要相对容易一些，然后通过反复学习得到一系列弱分类器，组合这些弱分类器得到一个强分类器。

Boosting算法要涉及到两个部分，加法模型和前向分步算法。加法模型就是说强分类器由一系列弱分类器线性相加而成。一般组合形式如下： $$F_M(x;P)=\sum_{m=1}^n\beta_mh(x;a_m)$$ 其中，$h(x;a_m)$就是一个个的弱分类器，$a_m$是弱分类器学习到的最优参数，$\beta_m$就是弱学习在强分类器中所占比重，$P$是所有$\alpha_m$和$\beta_m$的组合。这些弱分类器线性相加组成强分类器。

前向分步就是说在训练过程中，下一轮迭代产生的分类器是在上一轮的基础上训练得来的。也就是可以写成这样的形式： $$F_m (x)=F_{m-1}(x)+ \beta_mh_m (x;a_m)$$

用下面的GIF看起来会更加生动

Adaboost基本概念

AdaBoost是典型的Boosting算法，属于Boosting家族的一员。对于AdaBoost，我们要搞清楚两点：

1、每一次迭代的弱学习$h(x;a_m)$有何不一样，如何学习？

2、弱分类器权值$\beta_m$如何确定？

第一个问题，AdaBoost的做法是，提高那些被前一轮弱分类器错分类样本的权值，而降低那些被正确分类样本的权值。这样一来，那些没有得到正确分类的数据，由于其权值加大而受到后一轮的弱分类器的更大关注。于是，分类问题被一系列的弱分类器“分而治之”。

第二个问题，即弱分类器的组合，AdaBoost采取加权多数表决的方法。具体地，加大分类误差率小的弱分类器的权值，使其在表决中起较大的作用，减小分类误差率大的弱分类器的权值，使其在表决中起较小的作用。

Adaboost算法流程-分类

输入：训练数据集$T={(x_1,y_1),(x_2,y_2),...,(x_N,y_N)}$，其中，$x_i∈X?R^n$，$y_i∈Y={-1,1}$，迭代次数$M$

1.初始化训练样本的权值分布:

$$ \begin{aligned} D_1=(w_{1,1},w_{1,2},…,w_{1,i}),\w_{1,i}=\frac{1}{N},i=1,2,…,N \end{aligned} $$

2.对于$m=1,2,…,M$

(a)　使用具有权值分布$D_m$的训练数据集进行学习，得到弱分类器$G_m (x)$

(b)　计算$G_m(x)$在训练数据集上的分类误差率：$$e_m=\sum_{i=1}^Nw_{m,i} I(G_m (x_i )≠y_i )$$ (c)　计算$G_m (x)$在强分类器中所占的权重：$$\alpha_m=\frac{1}{2}log \frac{1-e_m}{e_m} $$ (d)　更新训练数据集的权值分布（这里，(z_m)是归一化因子，为了使样本的概率分布和为1）： $$w_{m+1,i}=\frac{w_{m,i}}{z_m}exp?(-\alpha_m y_i G_m (x_i ))，i=1,2,…,10$$ $$z_m=\sum_{i=1}^Nw_{m,i}exp?(-\alpha_m y_i G_m (x_i ))$$ 3.得到最终分类器: $$F(x)=sign(\sum_{i=1}^N\alpha_m G_m (x))$$

公式推导

假设已经经过$m-1$轮迭代，得到$F_{m-1} (x)$，根据前向分步，我们可以得到： $$F_m (x)=F_{m-1} (x)+\alpha_m G_m (x)$$ 我们已经知道AdaBoost是采用指数损失，由此可以得到损失函数： $$ \begin{aligned} Loss=&\sum_{i=1}^Nexp?(-y_i F_m (x_i ))\ =&\sum_{i=1}^Nexp?(-y_i (F_{m-1} (x_i )+\alpha_m G_m (x_i ))) \end{aligned} $$ 这时候,$F_{m-1}(x)$是已知的，可以作为常量移到前面去: $$Loss=\sum_{i=1}^N\widetilde{w_{m,i}} exp?(-y_i \alpha_m G_m (x_i ))$$ 其中，$\widetilde{w_{m,i}}=exp?(-y_i (F_{m-1} (x)))$ 就是每轮迭代的样本权重！依赖于前一轮的迭代重分配。再化简一下： $$ \begin{aligned} \widetilde{w_{m,i}}=&exp?(-y_i (F_{m-1} (x_i )+\alpha_{m-1} G_{m-1} (x_i )))\=&\widetilde{w_{m-1,i}} exp?(-y_i \alpha_{m-1} G_{m-1} (x_i )) \end{aligned} $$ 继续化简Loss： $$ \begin{aligned} Loss=\sum_{y_i=G_m(x_i)}\widetilde{w_{m,i}} exp(-\alpha_m)+\sum_{y_i≠G_m(x_i)}\widetilde{w_{m,i}} exp?(\alpha_m)\=\sum_{i=1}^N\widetilde{w_{m,i}}(\frac{\sum_{y_i=G_m(x_i)}\widetilde{w_{m,i}}}{\sum_{i=1}^N\widetilde{w_{m,i}}}exp(-\alpha_m)+\frac{\sum_{y_i≠G_m(x_i)}\widetilde{w_{m,i}}}{\sum_{i=1}^N\widetilde{w_{m,i}}}exp(\alpha_m)) \end{aligned} $$

其中 $\frac{\sum_{y_i≠G_m(x_i)}\widetilde{w_{m,i}}}{\sum_{i=1}^N\widetilde{w_{m,i}}}$就是分类误差率$e_m$ 所以 $Loss=\sum_{i=1}^N\widetilde{w_{m,i}}exp?(-\alpha_m)+e_m exp?(\alpha_m))$ 这样我们就得到了化简之后的损失函数对$\alpha_m$求偏导令$\frac{?Loss}{?\alpha_m }=0$得到： $$\alpha_m=\frac{1}{2}log\frac{1-e_m}{e_m}$$

AdaBoost实例

《统计学习方法》上面有个小例子，可以用来加深印象有如下的训练样本，我们需要构建强分类器对其进行分类。x是特征，y是标签。

令权值分布$D_1=(w_{1,1},w_{1,2},…,w_{1,10} )$ 假设一开始的权值分布是均匀分布：$w_{1,i}=0.1，i=1,2,…,10$ 现在开始训练第一个弱分类器。我们发现阈值取2.5时分类误差率最低，得到弱分类器为： $$ G_1(x)= \begin{cases} 1,& \text{x<2.5} \ -1,& \text{x>2.5} \end{cases} $$ 当然，也可以用别的弱分类器，只要误差率最低即可。这里为了方便，用了分段函数。得到了分类误差率$e_1=0.3$

第二步计算$G_1 (x)$在强分类器中的系数$\alpha_1=\frac{1}{2} log\frac{ 1-e_1}{e_1}=0.4236$

第三步更新样本的权值分布，用于下一轮迭代训练。由公式： $$w_{2,i}=\frac{w_{1,i}}{z_1}exp?(-\alpha_1 y_i G_1 (x_i ))，i=1,2,…,10$$ 得到新的权值分布，从各0.1变成了: $D_2=(0.0715,0.0715,0.0715,0.0715,0.0715,0.0715,0.1666,0.1666,0.1666,0.0715)$ 可以看出，被分类正确的样本权值减小了，被错误分类的样本权值提高了。

第四步得到第一轮迭代的强分类器： $$sign(F_1 (x))=sign(0.4236G_1 (x))$$ 以此类推，经过第二轮……第N轮，迭代多次直至得到最终的强分类器。迭代范围可以自己定义，比如限定收敛阈值，分类误差率小于某一个值就停止迭代，比如限定迭代次数，迭代1000次停止。这里数据简单，在第3轮迭代时，得到强分类器： $$sign(F_3 (x))=sign(0.4236G_1 (x)+0.6496G_2 (x)+0.7514G_3 (x))$$ 的分类误差率为0，结束迭代。

$F(x)=sign(F_3 (x))$就是最终的强分类器。

Adaboost参数详解

我们直接使用sklearn.ensemble中的AdaBoostRegressor和AdaBoostClassifier，两者大部分框架参数是相同的：

AdaBoostRegressor

class sklearn.ensemble.AdaBoostRegressor
(base_estimator=None, n_estimators=50, 
learning_rate=1.0, loss=’linear’, random_state=None)

AdaBoostClassifier

class sklearn.ensemble.AdaBoostClassifier
(base_estimator=None, n_estimators=50, 
learning_rate=1.0, algorithm=’SAMME.R’, random_state=None)

参数

1）base_estimator：AdaBoostClassifier和AdaBoostRegressor都有，即我们的弱分类学习器或者弱回归学习器。理论上可以选择任何一个分类或者回归学习器，不过需要支持样本权重。我们常用的一般是CART决策树或者神经网络MLP。默认是决策树，即AdaBoostClassifier默认使用CART分类树DecisionTreeClassifier，而AdaBoostRegressor默认使用CART回归树DecisionTreeRegressor。另外有一个要注意的点是，如果我们选择的AdaBoostClassifier算法是SAMME.R，则我们的弱分类学习器还需要支持概率预测，也就是在scikit-learn中弱分类学习器对应的预测方法除了predict还需要有predict_proba。

2）algorithm：这个参数只有AdaBoostClassifier有。主要原因是scikit-learn实现了两种Adaboost分类算法，SAMME和SAMME.R。两者的主要区别是弱学习器权重的度量，SAMME使用了二元分类Adaboost算法的扩展，即用对样本集分类效果作为弱学习器权重，而SAMME.R使用了对样本集分类的预测概率大小来作为弱学习器权重。由于SAMME.R使用了概率度量的连续值，迭代一般比SAMME快，因此AdaBoostClassifier的默认算法algorithm的值也是SAMME.R。我们一般使用默认的SAMME.R就够了，但是要注意的是使用了SAMME.R，则弱分类学习器参数base_estimator必须限制使用支持概率预测的分类器。SAMME算法则没有这个限制。

3）loss：这个参数只有AdaBoostRegressor有，Adaboost.R2算法需要用到。有线性‘linear’, 平方‘square’和指数 ‘exponential’三种选择, 默认是线性，一般使用线性就足够了，除非你怀疑这个参数导致拟合程度不好。

4)n_estimators： AdaBoostClassifier和AdaBoostRegressor都有，就是我们的弱学习器的最大迭代次数，或者说最大的弱学习器的个数。一般来说n_estimators太小，容易欠拟合，n_estimators太大，又容易过拟合，一般选择一个适中的数值。默认是50。在实际调参的过程中，我们常常将n_estimators和下面介绍的参数learning_rate一起考虑。

5)learning_rate: AdaBoostClassifier和AdaBoostRegressor都有，即每个弱学习器的权重缩减系数ν，在原理篇的正则化章节我们也讲到了，加上了正则化项，我们的强学习器的迭代公式为$fk(x)=fk?1(x)+ναkGk(x)$。ν的取值范围为0<ν≤1。对于同样的训练集拟合效果，较小的ν意味着我们需要更多的弱学习器的迭代次数。通常我们用步长和迭代最大次数一起来决定算法的拟合效果。所以这两个参数n_estimators和learning_rate要一起调参。一般来说，可以从一个小一点的ν开始调参，默认是1。

SAMME.R算法流程

1.初始化样本权值： $$w_i=1/N,i=1,2,…,N$$ 2.Repeat for$m=1,2,…,M$

2.1 训练一个弱分类器，得到样本的类别预测概率分布$p_m(x)=P(y=1|x)∈[0,1]$

2.2 $f_m(x)=\frac{1}{2}log\frac{p_m(x)}{1-p_m(x)}$

2.3 $w_i=w_iexp[-y_if_m(x_i)]$，同时，要进行归一化使得权重和为1 3.得到强分类模型：$sign{\sum_{m=1}^{M}f_m(x)}$

DecisionTreeClassifier和DecisionTreeRegressor的弱学习器参数，以CART分类树为例，这里就和前文随机森林类似了。