从一道动态规划到卡特兰数
LeetCode 96
题目链接：https://leetcode-cn.com/problems/unique-binary-search-trees/
题意：给定一个整数 n，求以 1 ... n 为节点组成的二叉搜索树有多少种？
n = 3 时：
动态规划
思路：从 1 开始到 n ，每次以这个数为根，左子树存放比它小的数，右子树存放比它大的数。每个根不重复，因此每个树也必定不重复。
左子树和右子树，又可以按照这个规则去生成新的树。
例如：n = 3的时候
1为根： 比 1 小的数只有 0，不用管。比 1 大的数有 2 和 3。
拿 2 和 3 来生成一棵树和拿 1 和 2 来生成一棵树的种数是不是相同的？那么 1 和 2 能生成多少种树呢？
2为根： 比 2 小的是 1，比 2 大的是 3。这里只有 1 种。
3为根： 比 3 小的是 1 和 2，1 和 2 能生成多少种树呢？
我们先暂停思维，来到一个新的问题。 n = 2 的时候，结果应该是多少？
n = 2 的时候，按照我们之前的方法。
1 为根：比 1 大的数只有 2， 这里有 1 种。
2 为根：比 2 小的数只有 1， 这里有 1 种。
那答案就应该是 2 种。
解决了 n = 2 的问题，那 n = 3 的问题就也解决了。 ans = 2 + 1 + 2 = 5。
我们来看一般情况。输入一个 n 。
定义一个 F(i) 表示以 i 为根，生成的树的种数。
定义一个 G(n) 表示输入 n 的时候，输出的结果。此处一定要注意 F 与 G 的区别。
以 i 为根的时候，能生成多少种树？
比 i 小的有 i - 1 个，比 i 大的有 n - i 个。因此左子树有 i - 1 个， 右子树有 n - i 个数。那么，F(i) = G(i - 1) * G(n - i)。
而我们求的 G(n) = F(1) + F(2) + …… + F(n)。
把两个公式综合 ：
G(n) = $\displaystyle \sum^{n}_{i = 1}{G(i-1)}*G(n-i)$
d[0] = 1; // 0 的时候特殊处理
for (int i = 1; i <= n; i++)
for (int j = 1; j <= i; j++)
d[i] += d[j-1] * d[i-j];
以上是利用动态规划求解的思路。
时间复杂度：O(n^2)
空间复杂度：O(n)
Catalan公式
这个题目还有一种很强的解法，卡特兰公式。卡特兰公式和排列组合有很大关系，不属于偏难怪解法，有很多算法和数据结构的问题本质上就是卡特兰公式的应用。比如二叉树的形态数，出栈序列数，括号匹配问题等。公式不要紧，没必要去硬背。主要是理解卡特兰问题应用的特征，把问题抽象到已有模型中来。
Catalan 递推项满足：
C(n) = C(0) * C(n-1) + C(1) * C(n-2) + … + C(n-2) * C(1) + C(n-1) * C(0)
Catalan 通项公式：$C_{n} = $ $ {1} \over {n+1}$ $C_{2n}^{n}$
Catalan 递推公式1：$C_{n+1} = $ $ {4n + 2} \over {n + 2}$ $C_{n}$
Catalan 性质：$C_{n} = $ $C_{2n}^{n}$ - $ C_{2n}^{n-1}$
这个题目里面，由我们上面的 G(n) 很容易可以看出是一个卡特兰的应用。
我们用它的递推公式来求解。
求$C_{n}$的值，$C_{n} = $ $ {4n + 2} \over {n + 2}$ $C_{n-1}$。公式顺推即可得到答案。类比斐波那契最简解法。
long ans = 1;
for(int i = 0; i < n; i++)
ans = ans * 2 * (2 * i + 1) / (i + 2);
return (int) ans;
时间复杂度： O(n)
空间复杂度： O(1)
Catalan应用
例题1：括号序列
给 n 对括号，可以合成的合法序列有多少种？
首先计算一共的序列种数。n 对括号， 一共有 2n 个位置。我们选出其中 n 个位置放放置左括号，剩下的位置肯定就是右括号了。因此一共的种数为： $C_{2n} ^ {n} $ 。
接下来找出非法的括号序列数。每个非法的序列，在它的奇数位置，一定存在右括号数量大于左括号的数量。
在上图中：第 2m + 1 的时候，右括号大于左括号，因此该序列非法。
在 2m + 1 前：
右括号数量为： m + 1
左括号数量为： m
在 2m + 1后：
总的数量： n - 2m - 1
左括号有： n - 2m - 1 - (m + 1) = n - m
右括号有： n - 2m - 1 - m = n - m - 1
这个时候我们将右边的左括号和右括号位置置换(总的组合数量不会受到影响)。那么在整个序列 2n 个位置中：
右括号的数量为： m + 1 + n - m = n + 1
左括号的数量为： m + n - m - 1 = n - 1
在长度为 2n 里面有 n + 1 个右括号，数量为：$ C_{2n} ^ { n+1} $ 。你也可以理解从左括号的角度去看：$C_{2n} ^ {n-1} $ 。
在上面两个步骤以后，我们得到的合法序列数：$C_{2n} ^ {n} $ - $C_{2n} ^ {n-1} $ 。这就是 Catalan 公式的性质公式。知道是 Catalan，我们就可以用刚刚的方法求解问题的答案。
例题2 ：一个栈(无穷大)的进栈序列为1，2，3，…，n，有多少个不同的出栈序列?
例题3 ：给出一个n，要求一个长度为2n的01序列，使得序列的任意前缀中1的个数不少于0的个数， 有多少个不同的01序列?
例题4 ：2n个人要买票价为五元的电影票，每人只买一张，但是售票员没有钱找零。其中，n个人持有五元，另外n个人持有十元，问在不发生找零困难的情况下，有多少种排队方法？（阿里有个笔试题根据这个变化的）