素数阶群必为循环群

前言：仅个人小记。素数阶群必为循环群，这个性质很重要，尤其是在密码学中，我们总是引入素数阶的群，这个性质保证了我们引入的群具有循环群的一切特征，包括交换性、具有生成元。

前要知识

1. 群论中的拉格朗日定理（子群的阶必然能整除群阶) 。参看 https://blog.csdn.net/qq_25847123/article/details/100318620
2. 素数 p 以内的正整数都与 p 互质。
3. 素数阶群只有平凡子群 {e} 和 G ，不存在非平凡子群。证明如下：
   因为群 G 的阶为素数 p，且由前要知识2知，素数 p以内的正整数都与 p 互质，故而 G 的子群的阶不可能是
   $\{2,3,...,p-1\}$故而 G 的子群的阶只有可能为
   $\{1,p\}$换言之，素数阶群 G 只可能有平凡子群 {e} 和 G，不存在非平凡子群。证毕！

证明

群 G 中的任一元素 a 都可以构建一个循环子群 H，具体为 $H = \{e,a,a^2,...,a^k\}$由前要知识3知道，对于素数阶群，子群只有 {e} 和 G。
显然当 a = e 时，
$H = \{e,a\}=\{e\}$当$a=\not e$时，则必然
$H=G$因为 H 已经是一个循环群了，所以必然 G 是一个循环群，进而素数阶群必然是一个循环群，得证。

小结

简言之， 由于群G是素数阶群，故而由任一元素生成的循环群要么是 {e} 要么是 G。当元素本身不为 e 时，该元素生成的循环群只能必然是 G，即必然有元素能生成群 G，故而群 G 必然是一个循环群。

来源：CSDN

作者：Zetaa

链接：https://blog.csdn.net/qq_25847123/article/details/100572099