振动学基础

&11.1 简谐振动的描述

简谐振动定义

概念：离开平衡位置的位移（或角位移）按余弦函数（或正弦函数）的规律变化的运动

动力学定义：质点在与其对平衡位置的位移成正比而反向的线性回复力作用下的运动就是简谐运动
运动学特征：简谐振动的加速度与位移从成正比而反向

简谐运动表达式

公式：

\[ x=A\cos(\omega t+\varphi) \]

各物理量的意义
振幅_A：表示简谐振动的物体离开平衡位置的最大位移

角频率_$\omega$：表示物体在$2\pi$时间内往复振动的次数，也称圆频率

周期_T：振动往复一次所经历的时间

振动频率_v：单位时间振动往复的次数

初相_$\varphi $：初始时刻（t=0）振动系统的运动状态

周期物理量的转化关系：

\[ T=\frac{2\pi}{\omega}\\v=\frac{1}{T}=\frac{\omega}{2\pi}\\\omega=2\pi v \]

简谐运动的速度与加速度

速度公式：

\[ v=v_m\cos(\omega t+\varphi+\frac{\pi}{2})\\【v_m=\omega A】 \]

加速度公式：

\[ a=a_m\cos(\omega t+\varphi+\pi)=-\omega^2x\\【a_m=\omega^2A】 \]

简谐运动的相位

相位_($\omega x+\varphi$)：决定简谐振动运动状态的物理量

相位差_$\Delta \varphi=\varphi_2-\varphi_1$

相位差特征：
同向：$\Delta \varphi=0+2k\pi,\quad k\in Z$

反向：$\Delta \varphi=\pi+2k\pi,\quad k\in Z$

旋转矢量法

角度：当前时刻相位

半径：振幅

参考圆：对应的圆周

&11.2 简谐振动的动力学特征

动力学定义

定义：振动过程中，物体所受合外力与它相对于平衡位置的位移成正比而反向

线性回复力：所受的合外力

公式：

\[ F=-kx\quad【k为劲度系数】 \]

动力下的各物理量

角频率/固有频率_$\omega $：

\[ \omega=\sqrt{\frac{k}{m}} \]

固有周期_T：

\[ T=\frac{2\pi}{\omega}=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}} \]

振幅_A：

\[ A=\sqrt{x_0^2+\left(\frac{v_0}{\omega}\right)^2} \]

初相_$\varphi$：

\[ \varphi=\arctan\left( -\frac{v_0}{\omega x_0} \right) \]

简谐运动实例

在小角度摆动的情况下，单摆的振动是简谐振动

\[ \omega =\sqrt{\frac{g}{l}}\qquad T=2\pi\sqrt{\frac{l}{g}} \]

简谐振动的能量

\[ E=E_k+E_p=\frac{1}{2}kA^2 \]

&11.3 简谐运动的合成

同频率同方向简谐运动的合成

合振动的振幅：
\[ A=\sqrt{A_1^2+A_2^2+2A_1A_2\cos(\varphi_2-\varphi_1)} \]

若两个振动同相位，合振幅最大，$A=A_1+A_2$

若两个振动反相位，合振幅最小，$A=|A_1-A_2|$

合振动的初相：
\[ \tan\varphi=\frac{A_1\sin\varphi_1+A_2\sin\varphi_2}{A_1\cos\varphi_1+A_2\cos\varphi_2} \]

异频率同方向简谐运动的合成

拍的概念

合振动其振幅周期性变化的现象

推导

$x_1=Acos\omega_1t=Acos2\pi \upsilon_1t$

$x_2=Acos\omega_2t=Acos2\pi \upsilon_2t$

运用和差化积公式转化：

\[ x=x_1+x_2=2Acos2\pi\frac{\upsilon_2-\upsilon_1}{2}t·cos2\pi\frac{\upsilon_1+\upsilon_2}{2}t \]

振幅项：$2Acos2\pi\frac{\upsilon_2-\upsilon_1}{2}t$

振动项（谐振因子）：$cos2\pi\frac{\upsilon_1+\upsilon_2}{2}t$

相关参数

调制频率：$\frac{\omega_2-\omega_1}{2}$

载频：$\frac{\omega_1+\omega_2}{2}$

拍频

概念：合振幅变化的频率

公式：两分振动之差，即$v=v_2-v_1$

拍音

两个频率差很小的音叉同时振动时，会有时高时低的嗡嗡之声

异频率垂直向简谐运动的合成

李萨如图形

图形形状

应用：对未知的波进行频率和相位的测量

&11.4 阻尼振动

振动类型

等幅振动：简谐振动

阻尼振动（减幅振动）：摩擦阻尼、辐射阻尼

黏性：流体分子在不停地进行着不规则的热运动，不论流体是静止状态还是流动状态。这种不规则的热运动会使不同流层中的气体质量进行交换，而流体各层速度不同的话，邻层的两个流体分子的动量也不同。邻层之间既有质量交换，必有动量交换。快层流体分子由于热运动跑到慢层流体分子中，便从快层流动带走一份动量到慢层流动里，从而加快了慢层流体流动；反之，慢层流体分子由于热运动跑到快层流体分子中，便从慢层流动带走一份动量到快层流动里，从而减慢了快层流体流动。所以，黏度只决定于分子的热运动速度，而流体的温度正是分子热运动的动能的一个直接标志，因此同一流体的黏度只决定于流体的温度，而与压强无关。液体和气体的动力黏性系数随温度变化的趋势相反，因为它们产生黏性的物理原因不同，前者主要来自于液体分子间的内聚力，黏度与温度成正比；后者主要来自于气体分子的热运动，黏度与温度成反比。

黏性物质中物体运动方程

推导：

介质对物体的阻力有：

\[ F_r=-\gamma v=-\gamma\frac{dx}{dt} \]

积分得物体运动方程：

\[ m\frac{d^2x}{dt^2}=-kx-\gamma \frac{dx}{dt} \]

令$\omega^2=\frac{k}{m}$，$2\beta=\frac{\gamma}{m}$：

\[ \frac{d^2x}{dt^2}+2\beta\frac{dx}{dt}+\omega_0^2x=0 \]

微分方程的解为：

\[ x=A_0e^{-\beta t}cos(\sqrt{\omega_0^2-\beta^2}t+\varphi_0) \]

相关参数

$\omega_0$：无阻尼时振子的固有角频率

$\beta$：阻尼

阻尼振动类型

准周期振动（欠阻尼）
特征：$\omega_0>\beta$

周期：$T=\frac{2\pi}{\omega}=\frac{2\pi}{\sqrt{\omega_0^2-\beta^2}}$

临界阻尼：
特点：物体从运动到静止在平衡位置的时间最小

特征：$\omega_0=\beta$

过阻尼：
特征：$\omega_0<\beta$

阻尼曲线

&11.5 受迫振动共振

受迫振动

定义：对振动系统施加一个周期外力，其所发生的振动

驱动力：此周期性外力，下列推导简单记为$F=F_0\cos\omega t$

运动方程：
\[ x=A_0e^{-\beta t}\cos(\sqrt{\omega_0^2-\beta^2}t+\varphi_0)+A\cos(\omega t+\varphi) \]

暂态项：$A_0e^{-\beta t}\cos(\sqrt{\omega_0^2-\beta^2}t+\varphi_0)$

稳定项：$A\cos(\omega t+\varphi)$

方程振动参数：
\[ A=\frac{f_0}{\sqrt{(\omega_0^2-\omega^2)^2+4\beta^2\omega^2}}\\\varphi=\arctan\frac{-2\beta\omega}{\omega_0^2-\omega^2} \]

特点：

受迫振动的角频率不是振子的固有角频率，而是驱动力的角频率；A（稳态受迫振动的振幅）和（稳态受迫振动与驱动力的相位差）均与初始条件无关，而与驱动力的频率、幅值$F_0$及阻尼等因素有关

共振

振幅达到最大值时
角频率：$\omega _r=\sqrt{\omega_0^2-2\beta^2}$

振幅：$A_r=\frac{f_0}{2\beta\sqrt{\omega_0^2-\beta^2}}$

位移共振：位移振幅达到最大值

速度共振：驱动力频率正好等于系统固有频率
位移振动的相位落后驱动力$\frac{\pi}{2}$

速度振动与驱动力同相，使系统得到最大的能量补充

&11.6 电磁振荡

电磁振荡：电路中电压和电流的周期性变化

LC电路：最简单的振荡电路，由电容器和自感线圈组成

无阻尼自由振荡：忽略电阻和辐射阻尼

特点：在LC振荡回路中，电荷量和电流都作简谐振动，振荡周期和频率取决于振荡电路本身性质

振荡电路总能量：
\[ W=W_e+W_m=\frac{q_0^2}{2C}[\cos^2(\omega t+\varphi)+\sin^2(\omega t+\varphi)]=\frac{q_0^2}{2C} \]

【扩展】我们能否借助 LC 振荡电路发出可见光？

作者：尼古拉·特斯拉

理论上是可以的，但不可能实现，单纯从电路的知识来讲，电感L的阻抗是与频率成正比的，频率高，感抗就大，大到一定程度就基本上无法输出能量了。此外，所有交流的电路都有一个时间响应，如果频率太高，整个电路就基本上无法工作。

一般的振荡电路频率最高都只有MHz数量级，少量能达到GHz数量级，但是可见光的频率必要达到THz数量级！！

从另一个深层次角度说，首先所谓光子：它有特定的激发机制，所以有特定的内禀场相结构如：光子频率七色频、脉冲调制谐波谱、精细结构叠加态，也就是说：一个光子系统道首先是一种幅度调制+调相电磁波，普通LC振荡电路能产生吗?

其次：光子特定的中心频率很大，当然LC振荡电路的基频是由晶体振荡器产生，所以LC振荡电路至少需要各种倍频/分频电路，光子能被人眼看到：这缘于光子能够对原子轨道电子实现二次激发、与光子产生谐振效应，才能对脑神经产生最大的神经刺激效应，从而产生生化脑神经感受，普通电磁波能够对原子轨道电子实现二次激发吗？不能的！

光子激发机制：原子轨道电子进行能级跃迁产生，有高维量子隧穿机制，所以能产生光子脉冲。电磁波产生LC电路：产生源实际上是电子线路中所设置的晶体振荡电路，所谓LC电磁波辐射，是电路对晶振频信号进行倍分频信号，然后倍分频信号进入LC振荡电路构成的电磁波辐射器天线高辐射阻抗产生电流，电流通过天线高辐射变频阻抗产生电磁辐射波，所以这种电磁波辐射机制缘于电子受迫振荡，如：电耦激子辐射，它是不可能产生光脉冲那样的结构的！

还有就是，如果电流频率越高，会有一系列的效应，不管是不是LC电路，只要电流频率高到一定值，都会向外辐射电磁波。或者倒过来，形象地讲：“电流”就是频率很慢的“电磁波”，我们好不容易把用电源、导线等等的各类电学元件把“电磁波”的频率变低，适用于我们各类电器的需要，为什么还要反过来用增大电流频率的方式来发光呢？这没有意义，也很难做到。

要发光，我们有好多其它方式，比如原子能级跃迁、热辐射等等的，这些方式比电路振荡好的多！！

第二个问题就涉及波粒二象性了，德布罗意关系：E=hv，p=h/λ。说明了粒子性参量E、p与波动性参量v、λ的关系，也就是跃迁能量与电磁波之间的关系。至于热辐射，一般来说就是指波长很长的红外线，只不过它传递的能量大部分是以热运动的方式被吸收的，所以我们叫它热辐射。

从更高的角度，只要你学的多，就会发现其实电路振荡发射电磁波与原子能级跃迁发射电磁波、热辐射传递电磁波等等的各种形式本质上都有相似性，或者说根本就是同一个机制！！换句话讲，原子能级之间的跃迁就是一个高频的LC振荡电路。（你完全可以这样理解，虽然还是有点不同的）

归根到底：光子有特定的结构缘于特定的激发机制、能够被人眼脑视神经最大共振响应看到任何无线电路最多只能通过各种倍/分频器、调幅/调相，近似模拟光子场但要能获得被人眼看到的效果是不可能的!

所以你说：我们能否借助LC震荡电路发出可见光？当然不可能实现了