一、题目链接
http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1100
二、题目分析
对二叉树的所有形态顺序编号，编号规则是：节点数越多的编号越大；节点数相等，左子树节点数越多的越大；节点数相等，左子树节点数也相等，则依此规则比较右子树。
现给定一个正整数，依题目要求输出对应编号的二叉树形态。
三、求解思路
由题目输出格式要求，很直观地联想到使用深度优先搜索dfs，以当前二叉树对应的编号为条件，依次递归输出左子树和右子树。
1 int main(void) {
2 int n;
3 unsigned int arr[20] = {0};
4
5 init(arr, 20);
6
7 while (scanf("%d", &n) != EOF && n != 0) {
8 dfs(n, arr, 20);
9 printf("\n");
10 }
11
12 return 0;
13 }
其中arr存储的是不同节点数对应的二叉树形态数，即arr[i]表示有i个节点的二叉树总共有多少种形态。
1 void dfs(int n, unsigned int *arr, int num) {
2
3 int left, right;
4
5 if (n == 1) {
6 printf("X");
7 return ;
8 }
9
10 getChildren(&left, &right, n, arr, num);
11
12 if (left != 0) {
13 printf("(");
14 dfs(left, arr, num);
15 printf(")");
16 }
17 printf("X");
18 if (right != 0) {
19 printf("(");
20 dfs(right, arr, num);
21 printf(")");
22 }
23 }
通过getChildren得到左右子树对应的编号，然后递归搜索即可。
计算左右子树对应序号的思路：
计算总节点数nall、左子树节点数nleft和右子树节点数nright；
在计算总节点数和左子树节点数的同时，刨除所有总节点数小于nall的二叉树形态，刨除所有左子树节点数小于nleft的二叉树形态；
那么下面如何确定当前左子树是nleft个节点的二叉树中的第几个？当前右子树又是nright个节点的二叉树中的第几个？且看一例
- 这里假定左子树有三种形态，分别是1,2,3，右子树有两种形态，分别是a,b。额，其实有哪个节点总数对应三种二叉树形态，这里只是举例子
由这个小例子可以看出，要想确定左右子树对应的序号，需要依据右子树的形态数 ，对应的就是代码中的div，rem以及下面计算的blablabla
1 void getChildren(int *left, int *right, int n, unsigned int *arr, int num) {
2
3 int i;
4 int nall, nleft, nright;
5 int div, rem;
6
7 for (i = 1; i < num; i++) {
8 if ((unsigned)n > arr[i]) {
9 n -= arr[i];
10 } else {
11 nall = i;
12 break;
13 }
14 }
15
16 for (i = 0; i < nall; i++) {
17 if ((unsigned)n > arr[i] * arr[nall - i - 1]) {
18 n -= arr[i] * arr[nall - i - 1];
19 } else {
20 nleft = i;
21 break;
22 }
23 }
24 nright = nall - nleft - 1;
25
26 div = n / arr[nright];
27 rem = n % arr[nright];
28
29 *left = *right = 0;
30
31 if (nleft != 0) {
32 for (i = 1; i < nleft; i++) {
33 *left += arr[i];
34 }
35 *left += rem == 0 ? div : div + 1;
36
37 if (nright != 0) {
38 for (i = 1; i < nright; i++) {
39 *right += arr[i];
40 }
41 *right += rem == 0 ? arr[nright] : rem;
42 }
43 }
嗯，差不多就这些了。为什么是arr[20]？怎么计算i个节点对应的二叉树形态数？wiki一下Catalan numbers吧。
附完整代码：
1 /* http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1100 */
2
3 #include <stdio.h>
4
5 void init(unsigned int *arr, int N);
6 void dfs(int n, unsigned int *arr, int num);
7 void getChildren(int *left, int *right, int n, unsigned int *arr, int num);
8
9 int main(void)
10 {
11 int n;
12 unsigned int arr[20] = {0};
13
14 init(arr, 20);
15
16 while (scanf("%d", &n) != EOF && n != 0) {
17 dfs(n, arr, 20);
18 printf("\n");
19 }
20
21 return 0;
22 }
23
24 void init(unsigned int *arr, int N)
25 {
26 int i, j;
27
28 arr[0] = arr[1] = 1;
29 for (i = 2; i < N; i++) {
30 for (j = 0; j < i; j++) {
31 arr[i] += arr[j] * arr[i - j - 1];
32 }
33 }
34 }
35
36 void dfs(int n, unsigned int *arr, int num)
37 {
38 int left, right;
39
40 if (n == 1) {
41 printf("X");
42 return ;
43 }
44
45 getChildren(&left, &right, n, arr, num);
46
47 if (left != 0) {
48 printf("(");
49 dfs(left, arr, num);
50 printf(")");
51 }
52 printf("X");
53 if (right != 0) {
54 printf("(");
55 dfs(right, arr, num);
56 printf(")");
57 }
58 }
59
60 void getChildren(int *left, int *right, int n, unsigned int *arr, int num)
61 {
62 int i;
63 int nall, nleft, nright;
64 int div, rem;
65
66 for (i = 1; i < num; i++) {
67 if ((unsigned)n > arr[i]) {
68 n -= arr[i];
69 } else {
70 nall = i;
71 break;
72 }
73 }
74
75 for (i = 0; i < nall; i++) {
76 if ((unsigned)n > arr[i] * arr[nall - i - 1]) {
77 n -= arr[i] * arr[nall - i - 1];
78 } else {
79 nleft = i;
80 break;
81 }
82 }
83 nright = nall - nleft - 1;
84
85 div = n / arr[nright];
86 rem = n % arr[nright];
87
88 *left = *right = 0;
89
90 if (nleft != 0) {
91 for (i = 1; i < nleft; i++) {
92 *left += arr[i];
93 }
94 *left += rem == 0 ? div : div + 1;
95
96 if (nright != 0) {
97 for (i = 1; i < nright; i++) {
98 *right += arr[i];
99 }
100 *right += rem == 0 ? arr[nright] : rem;
101 }
102 }