一、不动点算法

又称固定点算法。所谓不动点，是指将一个给定的区域A,经某种变换ƒ(x),映射到A时,使得x=ƒ(x)成立的那种点。最早出现的不动点理论是布劳威尔定理(1912)：设A为Rⁿ中的一紧致凸集, ƒ为将A映射到A的一连续函数，则在A中至少存在一点x，使得x=ƒ（x）。其后，角谷静夫于1941年将此定理推广到点到集映射上去。设对每一x∈A ，ƒ(x)为A的一子集。若ƒ(x)具有性质：对A上的任一收敛序列x_i→x₀，若y_i∈ƒ(x_i)且y_i→y₀，则有y₀∈ƒ(x₀),如此的ƒ(x)称为在A上半连续，角谷静夫定理：设A为Rⁿ中的一紧致凸集，对于任何x∈A，若ƒ(x)为A的一非空凸集，且ƒ(x)在A上为上半连续，则必存在x

∈A,使x
∈ƒ(x
)。J.P.绍德尔和J.勒雷又将布劳威尔定理推广到巴拿赫空间。
　　不动点定理在代数方程、微分方程、积分方程、数理经济学等学科中皆有广泛的应用。例如，关于代数方程的基本定理，要证明ƒ(x)=0必有一根，只须证明在适当大的圆│x│≤R 内函数ƒ(x)+x有一不动点即可；在运筹学中，不动点定理的用途至少有二：一为对策论中用来证明非合作对策的平衡点的存在和求出平衡点；一为数学规划中用来寻求数学规划的最优解。对于一个给定的凸规划问题：min{ƒ(x)│g_i(x)≤0，i=1,2,…,m}，在此,ƒ和g₁,g₂,…,g_m皆为Rⁿ中的凸函数。通过适当定义一个函数φ,可以证明：若上述问题的可行区域非空，则φ的不动点即为该问题的解。
　　在1964年以前，所有不动点定理的证明都是存在性的证明，即只证明有此种点存在。1964年，C.E.莱姆基和 J.T.Jr.豪森对双矩阵对策的平衡点提出了一个构造性证明。1967年，H.斯卡夫将此证法应用到数学规划中去。其后，不动点定理的构造性证明有了大的发展和改进。
　　H.斯卡夫的证明是基于一种所谓本原集，后来的各种发展皆基于某种意义下的三角剖分。现以n 维单纯形Sⁿ为例来说明这一概念，在此,

。对每一i, 将区间0≤x_i≤1依次分为m₁,m₂…等分，m₁<m₂<…,m_i→

,是给定的一列正整数。对于固定的i,过分点

依次作平行于x_i=0的平面。这些平面将Sⁿ分成若干同样大小的n维三角形。它们的全体作成的集 G_i,称为Sⁿ的一三角剖分。设ƒ(x)为 Sⁿ→Sⁿ的一连续函数，x＝(x₁,x₂,…,x_n₊₁),ƒ（x）=（ƒ₁（x），ƒ₂（x），…，ƒ_n₊₁（x））。定义

。由于ƒ(x)和x皆在Sⁿ上,若有

则显然有ƒ(x

)=x

,即x

为ƒ(x)的一不动点。
　　对每一点y∈Sⁿ赋与标号l(y)=k=min{j│y∈C_j,且y_j>0}。由著名的施佩纳引理,在G_i中必存在一三角形σ_i，它的n+1个顶点yⁱ(k)的标号分别为k(k=1,2,…,n+1)于是可得一列正数i_j(j→

),使得

(k)→y_k,k=1,2,…,n+1。根据σ_i的作法，当i_j→

时,

收敛成一个点x

。故y_k=x

,k=1,2,…,n+1。因

(k)的标号为k,故y_k∈C_k,因而

即x

为所求的不动点。因此,求ƒ(x):Sⁿ→Sⁿ 的不动点问题就化为求 σ_i(i=1,2,…) 的问题。为了计算上的效果，除了上述的标号法之外，还有标准整数标号法、向量标号法等等。关于如何求σ_i，有变维算法、三明治法、同伦算法、变维重始法等等，通过适当定义,可将上之Sⁿ改为Rⁿ或Rⁿ中之一凸集。求一凸函数在一凸集上的极值问题也可化为求不动点问题。一般说来，这条途径适用于维数不高但问题中出现的函数较为复杂的情况。
　　参考书目
　A.J.J.TalmanVariable Dimension Fixed Point Algorithms and Triangulations, Mathematisch Centrum, Amsterdam, 1980.

二、Prof. Yuguang Xu (徐裕光教授)（ Kunming University, China (雲南省昆明學院)）

Fixed point theory and its applications（在台湾成功大学所作的报告）

不动点理论研究的内容属于数学的非线性泛函分析和一般拓扑学范畴。研究出的结果被广泛应用于分析数学，力学，微分方程，控制理论，最优化理论，非线性规划，数理经济学和博弈论等应用性学科。

(一)．不动点理论的发展进程

• 一个简单的不动点问题（微积分中）；

• 1909 年， Brouwer 的著名的 不动点定理 及一系列的论文创立了不动点理论；

• 1922 年 , 波兰著名数学家 S. Banach 给出了一个既简单又实用的 压缩映射原理， 它也是一个不动点定理。在简单的条件下， Banach 压缩映射原理不仅指出了映射不动点的存在性和唯一性，还提供了一种逼近不动点的方法；

• 1967 年，美国数学家 H. E. Scarf 找到了计算单纯形连续映射不动点的组合拓扑有限算法，这也就是 Brouwer 不动点定理的构造性证明；

• 1941 年，日本数学家角谷静夫（ Kakutani ）的集值不动点定理为博弈论建立在数学基础上作了理论准备；

• 1968 年的 Fan － Browder 不动点定理， 1972 年的 Himmelberg 不动点定理以及 Tarafdar 在 1987 年和 1992 年分别在拓扑线性空间和 H －空间建立的不动点定理；

• 美国数学家 Michael （ 1956 年）， Deutsch 和 Kenderov （ 1983 年），应用集值分析中的连续选择原理在拓扑空间建立集值不动点定理和几乎不动点定理；

• 1990 年以后，关于不动点理论的研究达到一个高潮，在各种映射或空间条件下，讨论不动点，随机不动点，几乎不动点等，每年有上百篇论文发表，新的不动点定理和各种迭代逼近方法不断涌现。

(二)．不动点理论的四个研究方向

1. 在拓扑空间研究“不动点性质”（使用同伦群），不动点的有限算法（组合拓扑）；

• 丹麦数学家 Nielsen 研究不动点的个数（ Nielsen 数），开创不动点类理论的研究，大陆数学家的工作；

• 一般度量空间或拓扑向量空间的连续映射的不动点问题

不动点的存在性问题研究	映射的连续性，紧性，空间的紧性，凸性，单值或集值
不动点的迭代逼近问题研究	多种迭代方法，收敛性（强，弱），收敛速度，误差分析，稳定性

• 应用集值分析中的连续选择原理在拓扑空间建立集值不动点定理和几乎不动点定理并应用于博弈论研究。

(三)． 不动点理论主流方向的研究现状，及研究前沿期待解决的问题

“ 一般度量空间或拓扑向量空间映射的不动点问题”是研究的主流。近 20 年来的研究发展主线：

• 迭代逼近算法的研究（从 Mann 迭代到杂交迭代等）；

• 强伪压缩映射的不动点，强增生算子方程的迭代解（两者的联系）；

• 迭代误差分析和稳定性研究；

• 有待解决的几个问题（一般情况下的收敛性问题，迭代收敛的等价性问题，不动点存在性和迭代逼近的条件的协调性问题，关于 Schauder 猜想）。

其次为“应用连续选择原理建立集值不动点定理和几乎不动点定理”的研究。

现有的最好结果和需要解决的问题：

a ）上（下）半连续集值映射与其不动点存在性的拓扑同伦关系；

b) 具备弱于上（下）半连续性的集值映射与其不动点的存在唯一性的充要条件；

c) 探索几乎均衡解与几乎不动点存在性的关系。

三、维基百科中关于Kakutani fixed point theorem

http://en.wikipedia.org/wiki/Kakutani_fixed_point_theorem

应用领域之一：博弈论

Mathematician John Nash used the Kakutani fixed point theorem to prove a major result in game theory. Stated informally, the theorem implies the existence of a Nash equilibrium in every finite game with mixed strategies for any number of players. This work would later earn him a Nobel Prize in Economics.

In this case, S is the set of tuples of mixed strategies chosen by each player in a game. The function φ(x) gives a new tuple where each player's strategy is her best response to other players' strategies in x. Since there may be a number of responses which are equally good, φ is set-valued rather than single-valued. Then the Nash equilibrium of the game is defined as a fixed point of φ, i.e. a tuple of strategies where each player's strategy is a best response to the strategies of the other players. Kakutani's theorem ensures that this fixed point exists.

翻译：数学家约翰.纳什应用角谷静夫不动点理论证明了博弈论中的大量的结论。可以说角谷静夫不动点理论意味着在每个具有任意数量玩家的混合策略有限博弈中纳什均衡是存在的！此项工作将在未来（1994年）为他赢得诺贝尔经济学奖。

在这种情况下，S是博弈中每个玩家所选择的混合策略元组的集合。方程 φ(x)给出一个新的元组，其中每个玩家的策略是在X中她对其他玩家所选策略的最优选择。由于可能有许多选择是不相上下的，所以φ是集值而不是单值。博弈中的纳什均衡被定义为φ的不动点，比如，一个策略元组，其中针对其他玩家的策略每个玩家的策略都是最优的。角谷静夫的理论确保了此不动点是存在的！

四、我的理解

角谷静夫不动点理论的重要性在与将布劳威尔定理中的存在某一个点x∈A,使得x=f(x)在A范围中成立扩展到存在A上的一个子集X*使得x=f(x),x∈X*。（数学表达不准确，大概是这个意思。O(∩_∩)O~）

这个理论正好为纳什证明“所有有限博弈至少有一个纳什均衡”提供了有力的理论工具！

五、有趣的地方

在《纳什博弈论论文集》序言部分第七页最下边的注释，序言作者Ken Binmore讲了一个小故事，有次角谷静夫做演讲，演讲结束后，角谷静夫问Kin Binmore为啥这么多人来听演讲，Ken Binmore解释说许多经济学家是来看作出如此重要的角谷静夫不动点理论的作者的。角谷静夫却回答说：“什么是角谷静夫不动点理论”。

看完这里，我笑半天，角谷静夫都不知道自己的理论被别人叫啥了，也许可能太谦虚了，也许故意为之！想不明白！