马尔可夫随机场
概率图模型是由图表示的概率分布。概率无向图模型又称马尔可夫随机场（Markov random field），表示一个联合概率分布，其标准定义为：
设有联合概率分布\(P(V)\)由无向图\(G=(V, E)\)表示，图\(G\)中的节点表示随机变量，边表示随机变量间的依赖关系。如果联合概率分布\(P(V)\)满足成对、局部或全局马尔可夫性，就称此联合概率分布为概率无向图模型或马尔可夫随机场。
成对马尔可夫性
设无向图\(G\)中的任意两个没有边连接的节点\(u\),\(v\) ，其他所有节点为\(O\)，成对马尔可夫性指：给定\(Y_O\)的条件下，\(Y_u\)和\(Y_v\)条件独立
\[P(Y_u,Y_v|Y_O)=P(Y_u|Y_O)P(Y_v|Y_O)\]
局部马尔可夫性
设无向图\(G\)的任一节点\(v\)，\(W\)是与\(v\)有边相连的所有节点，\(O\)是\(v\)、\(W\)外的其他所有节点，局部马尔可夫性指：给定\(Y_W\)的条件下，\(Y_v\)和\(Y_O\)条件独立
全局马尔可夫性
设节点集合\(A\)、\(B\)是在无向图\(G\)中被节点集合\(C\)分开的任意节点集合，全局马尔可夫性指：给定\(Y_C\)的条件下，\(Y_A\)和\(Y_B\)条件独立
条件随机场
条件随机场的定义
条件随机场
设\(X\)和\(Y\)是随机变量，\(P(Y|X)\)是在给定\(X\)的条件下\(Y\)的条件概率分布。若随机变量\(Y\)构成一个有无向图\(G=(V,E)\)表示的马尔可夫场，即
\[P(Y_v|X,Y_w,w\neq v)=P(Y_v|X,Y_w, w \sim v)\]
对任意节点\(v\)都成立，则称\(P(Y|X)\)是条件随机场。式中\(w≠v\)表示\(w\)是除\(v\)以外的所有节点，\(w∼v\)表示\(w\)是与\(v\)相连接的所有节点。
线性链条件随机场
对于线性链条件随机场来说，图\(G\)的每条边都存在于状态序列\(Y\)的相邻两个节点，最大团\(C\)是相邻两个节点的集合，\(X\)和\(Y\)有相同的图结构意味着每个\(X_i\)都与\(Y_i\)一一对应。
设\(X=(X_1,...,X_n),Y=(Y_1,...,Y_n)\)均为线性链表示的随机变量序列，若在给定随机变量序列\(X\)的条件下，随机变量序列\(Y\)的条件分布\(P(Y|X)\)构成条件随机场，即满足马尔可夫性
\[P(Y_i|X,Y_1,\cdots,Y_{i−1},Y_{i+1},\cdots,Y_n)=P(Y_i|X,Y_{i−1},Y_{i+1}), \\
i=1,\cdots,n \quad \text{其中当$i$取1或$n$时只考虑单边}\]
则称\(P(Y|X)\)为线性链条件随机场。在标注问题中\(X\)表示输入观测序列，\(Y\)表示对应的状态序列。
条件随机场的形式
参数化形式
设\(P(Y|X)\)为线性链条件随机场，则在随机变量\(X\)取值为\(x\)的条件下，随机变量\(Y\)取值为\(y\)的条件概率具有如下形式：
\[P(y|x)=\frac{1}{Z(x)}\exp \left[ \sum_{i,k}\lambda_kt_k(y_{i-1},y_i,x,i)+\sum_{i,l}\mu_ls_l(y_i,x,i) \right]\]
其中
\[Z(x)=\sum_{y}\exp \left[ \sum_{i,k}\lambda_kt_k(y_{i-1},y_i,x,i)+\sum_{i,l}\mu_ls_l(y_i,x,i) \right]\]
式中，\(t_k\)和\(s_t\)是特征函数，\(\lambda_k\)和\(\mu_l\)是对应的权值。
上式是基本形式，表示给定输入序列\(x\),对输出序列\(y\)预测的条件概率。\(t_k\)是定义在边上的特征函数，称为转移特征，依赖于当前和前一个位置，\(s_l\)是定义在节点上的特征函数，称为状态特征，依赖于当前位置。\(t_k\)和\(s_l\)都依赖于位置，是局部特征函数。通常都是0-1函数。
线性链条件随机场也是对数线性模型(逻辑回归也是)。
简化形式
将转移特征和状态特征机器权值用统一的符号表示。设有\(K_1\)个转移特征，\(K_2\)个状态特征，\(K=K_1+K_2\)，记
\[f_k(y_{i-1},y_i,x,i)=\begin{cases}
t_k(y_{i-1},y_i,x,i) \quad k=1,2,\cdots,K_1 \\
s_l(y_i,x,l) \quad k=K_1+l; \ l=1,2,\cdots,K_2
\end{cases}\]
然后，对转移与状态特征在各个位置\(i\)求和，记作
\[f_k(y,x)=\sum \limits_{i=1}^n f_k(y_{i-1},y_i,x,i),\quad k=1,2,\cdots,K\]
用\(w_k\)表示特征\(f_k(y,x)\)的权值，即
\[w_k=\begin{cases}
\lambda_k, \quad k=1,2\cdots,K_1 \\
\mu_l, \quad k=K_1+l, \ l=1,2,\cdots,K_2
\end{cases}\]
于是，条件随机场可以表示为
\[p(y|x)=\frac{1}{Z_y(x)}\exp \sum_{k=1}^K w_kf_k(y,x)\]
还可以把\(w_k\)和\(f_k(y,x)\)表示成向量的形式
矩阵形式
引进特殊的起点和和终点状态标记\(y_0=start,y_{n+1}=stop\)，这是\(P_w(y|x)\)(简化形式)可以通过矩阵形式表示
对观测序列\(x\)的每一个位置\(i=1,2,\cdots,n+1\)，定义一个\(m\)阶的矩阵(m是标记\(y_i\)取值的个数)
\[M_i(x)=[M_i(y_{i-1},y_i|x)]\]
\[M_i(y_{i-1},y_i|x)=\exp(W_i(y_{i+1,y_i|x}))\]
\[W_i(y_{i+1},y_i|x)=\sum_{k=1}^K w_kf_k(y_{i-1},y_i,x,i)\]
这样，给定观测序列\(x\)，相应标记序列\(y\)的非规范化概率可以通过该序列\(n+1\)个矩阵适当元素的乘积\(\prod_{i=1}^{n+1}M_i(y_{i-1},y_i|x)\)表示，于是条件概率\(P_w(y|x)\)是
\[P_w(y|x)=\frac{1}{Z_w(x)}\prod_{i=1}^{n+1}M_i(y_{i-1},y_i|x)\]
其中，\(Z_w(x)\)是规范化因子，是\(n+1\)个矩阵的乘积的(start，stop)元素。
\[Z_w(x)=(M_1(x)M_2(x)\cdots M_{n+1}(x))_{start,stop}\]
注意，\(y_0=start\)与\(y_{n+1}=stop\)表示开始开始状态和终止状态，规范化因子\(Z_w(x)\)是以start为起点stop为终点通过状态的所有路径\(y_1 y_2 \cdots y_n\)的非规范化概率\(\prod_{i=1}^{n+1}M_i(y_{i-1},y_i|x)\)之和。