1.最小生成树介绍
什么是最小生成树？
最小生成树（Minimum spanning tree，MST）是在一个给定的无向图G(V,E)中求一棵树T，使得这棵树拥有图G中的所有顶点，且所有边都是来自图G中的边，并且满足整棵树的边权值和最小。
2.prim算法
和Dijkstra算法很像！！请看如下Gif图，prim算法的核心思想是对图G(V,E)设置集合S，存放已被访问的顶点，然后每次从集合V-S中选择与集合S的最短距离最小的一个顶点（记为u），访问并加入集合S。之后，令顶点u为中间点，优化所有从u能到达的顶点v与集合s之间的最短距离。这样的操作执行n次，直到集合s中包含所有顶点。
不同的是，Dijkstra算法中的dist是从源点s到顶点w的最短路径；而prim算法中的dist是从集合S到顶点w的最短路径，以下是他们的伪码描述对比，关于Dijkstra算法的详细描述请参考文章
算法实现：
#include<iostream>
#include<vector>
#define INF 100000
#define MaxVertex 105
typedef int Vertex;
int G[MaxVertex][MaxVertex];
int parent[MaxVertex]; // 并查集
int dist[MaxVertex]; // 距离
int Nv; // 结点
int Ne; // 边
int sum; // 权重和
using namespace std;
vector<Vertex> MST; // 最小生成树
// 初始化图信息
void build(){
Vertex v1,v2;
int w;
cin>>Nv>>Ne;
for(int i=1;i<=Nv;i++){
for(int j=1;j<=Nv;j++)
G[i][j] = 0; // 初始化图
dist[i] = INF; // 初始化距离
parent[i] = -1; // 初始化并查集
}
// 初始化点
for(int i=0;i<Ne;i++){
cin>>v1>>v2>>w;
G[v1][v2] = w;
G[v2][v1] = w;
}
}
// Prim算法前的初始化
void IniPrim(Vertex s){
dist[s] = 0;
MST.push_back(s);
for(Vertex i =1;i<=Nv;i++)
if(G[s][i]){
dist[i] = G[s][i];
parent[i] = s;
}
}
// 查找未收录中dist最小的点
Vertex FindMin(){
int min = INF;
Vertex xb = -1;
for(Vertex i=1;i<=Nv;i++)
if(dist[i] && dist[i] < min){
min = dist[i];
xb = i;
}
return xb;
}
void output(){
cout<<"被收录顺序："<<endl;
for(Vertex i=1;i<=Nv;i++)
cout<<MST[i]<<" ";
cout<<"权重和为："<<sum<<endl;
cout<<"该生成树为："<<endl;
for(Vertex i=1;i<=Nv;i++)
cout<<parent[i]<<" ";
}
void Prim(Vertex s){
IniPrim(s);
while(1){
Vertex v = FindMin();
if(v == -1)
break;
sum += dist[v];
dist[v] = 0;
MST.push_back(v);
for(Vertex w=1;w<=Nv;w++)
if(G[v][w] && dist[w])
if(G[v][w] < dist[w]){
dist[w] = G[v][w];
parent[w] = v;
}
}
}
int main(){
build();
Prim(1);
output();
return 0;
}
关于prim算法的更加详细讲解请参考视频
3.kruskal算法
Kruskal算法也可以用来解决最小生成树的问题，其算法思想很容易理解，典型的边贪心，其算法思想为：
- 在初始状态时隐去图中所有的边，这样图中每个顶点都是一个单独的连通块，一共有n个连通块
- 对所有边按边权从小到大进行排序
- 按边权从小到大测试所有边，如果当前测试边所连接的两个顶点不在同一个连通块中，则把这条测试边加入当前最小生成树中，否则，将边舍弃。
- 重复执行上一步骤，直到最小生成树中的边数等于总顶点数减一 或者测试完所有边时结束；如果结束时，最小生成树的边数小于总顶点数减一，说明该图不连通。
请看下面的Gif图！
算法实现：
#include<iostream>
#include<string>
#include<vector>
#include<queue>
#define INF 100000
#define MaxVertex 105
typedef int Vertex;
int G[MaxVertex][MaxVertex];
int parent[MaxVertex]; // 并查集最小生成树
int Nv; // 结点
int Ne; // 边
int sum; // 权重和
using namespace std;
struct Node{
Vertex v1;
Vertex v2;
int weight; // 权重
// 重载运算符成最大堆
bool operator < (const Node &a) const
{
return weight>a.weight;
}
};
vector<Node> MST; // 最小生成树
priority_queue<Node> q; // 最小堆
// 初始化图信息
void build(){
Vertex v1,v2;
int w;
cin>>Nv>>Ne;
for(int i=1;i<=Nv;i++){
for(int j=1;j<=Nv;j++)
G[i][j] = 0; // 初始化图
parent[i] = -1;
}
// 初始化点
for(int i=0;i<Ne;i++){
cin>>v1>>v2>>w;
struct Node tmpE;
tmpE.v1 = v1;
tmpE.v2 = v2;
tmpE.weight = w;
q.push(tmpE);
}
}
// 路径压缩查找
int Find(int x){
if(parent[x] < 0)
return x;
else
return parent[x] = Find(parent[x]);
}
// 按秩归并
void Union(int x1,int x2){
if(parent[x1] < parent[x2]){
parent[x1] += parent[x2];
parent[x2] = x1;
}else{
parent[x2] += parent[x1];
parent[x1] = x2;
}
}
void Kruskal(){
// 最小生成树的边不到 Nv-1 条且还有边
while(MST.size()!= Nv-1 && !q.empty()){
Node E = q.top(); // 从最小堆取出一条权重最小的边
q.pop(); // 出队这条边
if(Find(E.v1) != Find(E.v2)){ // 检测两条边是否在同一集合
sum += E.weight;
Union(E.v1,E.v2); // 并起来
MST.push_back(E);
}
}
}
void output(){
cout<<"被收录顺序："<<endl;
for(Vertex i=0;i<Nv;i++)
cout<<MST[i].weight<<" ";
cout<<"权重和为："<<sum<<endl;
for(Vertex i=1;i<=Nv;i++)
cout<<parent[i]<<" ";
cout<<endl;
}
int main(){
build();
Kruskal();
output();
return 0;
}
关于kruskal算法更详细的讲解请参考视频