这几天比较系统的学了一下微积分和导数（其实是高考课课余没事干和不想在机房颓废。。
一、导数
其实就是个变化率的问题。
我们设一个函数$f(x)$的导数为$D[f(x)]$
那么：
$$D[f(x)]=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$$
导数是这样用的。
$$f(x+\Delta x)=f(x)+D[f(x)]\Delta x$$
然后写一些常用的求导公式。
1.$$f(x)=ax+b$$
$$\begin{array}{rcl}D[f(x)]&=&\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}\\&=&\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{ax+b+a\Delta x - (ax+b)}{\Delta x}\\&=&\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{a\Delta x}{\Delta x}=a\end{array}$$
2.$$f(x)=x^n$$
$$\begin{array}{rcl}D[f(x)]&=&\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}\\&=&\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{(x+\Delta x)^n-x^n}{\Delta x}\\&=&\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\sum\limits_{i=0}^{n}C_n^i x^i{\Delta x}^{n-i}-x^n}{\Delta x}\\&=&\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\sum\limits_{i=0}^{n-1}C_n^i{\Delta x}^{n-i-1}x^i\\&=&nx^{n-1}\end{array}$$
关于三角函数，我们知道：
$$\lim_{x\rightarrow 0}sin(x)=x$$
$$\lim_{x\rightarrow 0}cos(x)=1$$
3.$$f(x)=\sin(ax+b)$$
$$\begin{array}{rcl}D[f(x)]&=&\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}\\&=&\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{sin(a(x+\Delta x)+b)-sin(ax+b)}{\Delta x}\\&=&\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{sin(ax+b)cos(a\Delta x)+cos(ax+b)sin(a\Delta x)-sin(ax+b)}{\Delta x}\\&=&\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{sin(ax+b)-sin(ax+b)+a\Delta x cos(ax+b)}{\Delta x}\\&=&acos(ax+b)\end{array}$$
4.$$f(x)=\cos(ax+b)$$
$$\begin{array}{rcl}D[f(x)]&=&\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}\\&=&\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{cos(a(x+\Delta x)+b)-cos(ax+b)}{\Delta x}\\&=&\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{cos(ax+b)cos(a\Delta x)-sin(ax+b)sin(a\Delta x)-cos(ax+b)}{\Delta x}\\&=&\lim_{\Delta x\rightarrow 0}-\frac{sin(ax+b)a\Delta x}{\Delta x}\\&=&-asin(ax+b)\end{array}$$
我们知道$e$的定义式是：
$$e=\lim_{n\rightarrow \infty}(1+\frac{1}{n})^{n}$$
5.$$f(x)=a^x$$
$$\begin{array}{rcl}D[f(x)]&=&\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{a^{x+\Delta x}-a^x}{\Delta x}\\&=&\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{a^x(a^{\Delta x}-1)}{\Delta x}\\&=&\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{a^x}{\frac{1}{(a^{\Delta x}-1)}\log_a((a^{\Delta x-1}+1))}\\&=&\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{a^x}{{\log_a(1+(a^{\Delta x}-1))}^{\frac{1}{a^{\Delta x}-1}}}\\&=&\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{a^x}{\log_a(x)}\\&=&\lim_{\Delta x\rightarrow 0}a^x\ln a\end{array}$$
6.导数运算法则：
$$D[cf(x)]=cD[f(x)]$$
$$D[f(x)+g(x)]=D[f(x)]+D[g(x)]$$
$$D[f(x)-g(x)]=D[f(x)]-D[g(x)]$$
加减不证明了。
证明
$$D[f(x)g(x)]=D[f(x)]g(x)+f(x)D[g(x)]$$
$$D[\frac{f(x)}{g(x)}]=\frac{D(f(x))g(x)-f(x)D[g(x)]}{g^2(x)}$$
$$D[f(g(x))]=D[g(x)]D[f(x)](g(x))$$