例12 Eratosthenes筛法求质数
问题描述
Eratosthenes筛法的基本思想是：把某范围内的自然数从小到大依次排列好。宣布1不是质数，把它去掉；然后从余下的数中取出最小的数，宣布它为质数，并去掉它的倍数。在第1步之后，得到质数2，筛中只包含奇数；第2步之后，得到质数3，一直做下去，当筛中为空时结束。
用Eratosthenes筛法求给定区间内的所有质数。
输入格式
两个整数a和b，其中1≤a≤b≤10000
输出格式
输出给定范围[a,b]间的所有质数，输出时每个质数占6列，每行输出10个质数。
输入样例
100 200
输出样例
101 103 107 109 113 127 131 137 139 149
151 157 163 167 173 179 181 191 193 197
199
（1）编程思路。
下面采用自顶向下逐步求精的方法解决这个问题。
1）先写出程序的总体框架
初始化，将所有的数都放在筛子中；
k=2；
while(k<=N)
{
用k将筛子中的数2*k、3*k、4*k …，一一筛去；
从当前下标k的下一个开始找到下一个仍在筛子中的数，并赋值给k；
}
从2开始，将所有留在筛子中的数（即为质数）打印出来；
2）筛子的构造
为了表示一个筛子，并将给定范围N以内的数放入筛子中，可以定义一个一维数组
int prime[N+1]；
其中，元素prime[i]==1表示整数i在筛子中；prime[i]==0表示整数i不在筛子中。
因此，初始化数组prime使所有的数都在筛子中，即使prime[2]~ prime[N]的值全部等于1。程序描述为：
for (k=2; k<=N;k++)
prime[k]=1;
3）用k将筛子中的数2*k、3*k、4*k …，一一筛去
n=2;
while(n*k<N)
{
prime[n*k]=0;
n++;
}
4）从当前下标k的下一个开始找到下一个仍在筛子中的数，并赋值给k
k++;
while(prime[k]==0)
k++;
5）从a开始到b为止，将仍然在筛子中的数打印出来
for (k=a; k<=b; k++)
{
if(prime[k]) printf(“%d “,k);
}
（2）源程序。
#include <stdio.h>
#define N 100000
int main()
{
int prime[N+1]={0,0},t,k,cnt,a,b;
for (k=2; k<=N;k++)
prime[k]=1;
k=2;
while(k<=N)
{
t=2;
while(t*k<=N)
{
prime[t*k]=0;
t++;
}
k++;
while(k<=N && prime[k]==0)
k++;
}
scanf("%d%d",&a,&b);
cnt=0;
for (k=a;k<=b;k++)
{
if (prime[k]==1)
{
cnt++;
printf("%6d",k);
if (cnt%10==0) printf("\n");
}
}
printf("\n");
return 0;
}
习题12
12-1 质因子分解
本题选自洛谷题库 （https://www.luogu.org/problem/P2043）
题目描述
对N!进行质因子分解。
输入格式
输入数据仅有一行包含一个正整数N，N<=10000。
输出格式
输出数据包含若干行，每行两个正整数p,a，中间用一个空格隔开。表示N!包含a个质因子p,要求按p的值从小到大输出。
输入样例
10
输出样例
2 8
3 4
5 2
7 1
说明/提示
10!=3628800=(2^8)*(3^4)*(5^2)*7
（1）编程思路。
先看如何求n！中质因子k的个数。以求10！质因子2的个数为例说明。
设先将1~10共10个数排成一行得到序列1。且设保存2的因子个数的变量cnt的初值为0。
序列1: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
在序列1中，只有2、4、…、10 共 10/2=5个数中至少含有一个2的因子。故cnt=cnt+n/2=0+5=5。
将序列1中的每个数除以2，只保留得到的整数，可排成序列2。（对应操作为n=n/2）
序列2： 1 2 3 4 5
对应序列1的数为：2 4 6 8 10
在序列2中，有5个数，只有5/2=2个数含有因子2，即原序列中有2个数（4,8）至少含有两个因子2。 cnt=cnt+n/2=5+5/2=7。
再将序列2中的每个数除以2，只保留得到的整数，可排成序列3。（对应操作为n=n/2）
序列3 1 2
对应序列1的数为：4 8
在序列3中，有2个数，只有2/2=1个数含有因子2，即原序列中有1个数（8）至少含有三个因子2。 cnt=cnt+n/2=7+2/2=8。
再将序列3中的每个数除以2，只保留得到的整数，可排成序列4。（对应操作为n=n/2）
此时，序列4中不再有数能被2整除，即原序列中没有数含有4个2的因子。
cnt=cnt+n/2=8+1/5=8。
至此，求得10！含有质因子2的个数为8。
按上述过程，将求n！中质因子k的个数写成一个简单的循环即可。
cnt=0;
while (n!=0)
{
cnt+=n/k;
n/=k;
}
定义数组int prime[1250]保存所有小于10000的质数，如prime[0]=2，prime[1]=3， prime[2]=5，…。用筛法求出各质数并保存在prime数组中。
定义数组int num[1250]，其中num[i]保存n!中质因子prime[i]的个数，num数组的全部元素的初始值置为0。
程序中按前面介绍的求n！中质因子k的个数的方法，用循环依次求取小于或等于n的质数prime[i]的个数num[i]。
（2）源程序。
#include <stdio.h>
#define N 10000
int main()
{
int t,k,i,n,cnt;
int flag[N+1]={0,0};
int prime[1250],num[1250]={0};
for (k=2; k<=N;k++)
flag[k]=1;
k=2; cnt=0;
while(k<=N)
{
t=2; prime[cnt++]=k;
while(t*k<=N)
{
flag[t*k]=0;
t++;
}
k++;
while(k<=N && flag[k]==0)
k++;
}
scanf("%d",&n);
for (i=0;i<cnt;i++)
{
if (prime[i]>n) break;
t=n;
while (t!=0)
{
num[i]+=t/prime[i];
t/=prime[i];
}
}
for (k=0;k<i;k++)
printf("%d %d\n",prime[k],num[k]);
return 0;
}
12-2 Prime Gap
本题选自北大POJ题库 （http://poj.org/problem?id=3518）
Description
The sequence of n − 1 consecutive composite numbers (positive integers that are not prime and not equal to 1) lying between two successive prime numbers p and p + n is called a prime gap of length n. For example, ‹24, 25, 26, 27, 28› between 23 and 29 is a prime gap of length 6.
Your mission is to write a program to calculate, for a given positive integer k, the length of the prime gap that contains k. For convenience, the length is considered 0 in case no prime gap contains k.
Input
The input is a sequence of lines each of which contains a single positive integer. Each positive integer is greater than 1 and less than or equal to the 100000th prime number, which is 1299709. The end of the input is indicated by a line containing a single zero.
Output
The output should be composed of lines each of which contains a single non-negative integer. It is the length of the prime gap that contains the corresponding positive integer in the input if it is a composite number, or 0 otherwise. No other characters should occur in the output.
Sample Input
10
11
27
2
492170
0
Sample Output
4
0
6
0
114
（1）编程思路。
题目的意思是：两个连续质数a和b之间的区间称为非质数区间。求n所在非质数区间的长度。例如，23和29是两个连续的质数，23和29之间的区间就是一个非质数区间，这个区间的长度为6，整数27在这个区间中，因此27所在非质数区间的长度为6。
定义数组int prime[maxn]，元素prime[i]的值为0表示整数i是质数（在筛子中，没有被筛掉），prime[i]的值为1表示整数i是不是质数（不在筛子中，已经被筛掉了）。
初始时prime的数组元素初值全为0，表示给定范围的每个整数都在筛子中。用筛法将所有的非质数全筛掉。
为求取n所在非质数区间的长度。若n本身是一个质数，则其所在非质数区间的长度记为0。
若n不是一个质数，可用循环 for (left=n-1; prime[left]==1; left--);求得比n小的最大质数left；用循环for (right=n+1;prime[right]==1; right++);求得比n大的最小质数right。则n一定在连续质数left和right之间的非质数区间，区间长度为right-left。
（2）源程序。
#include <stdio.h>
#define maxn 1399710
int prime[maxn]={0};
int main()
{
int i,j,n,left,right;
for(i=2;i<maxn;i++)
{
if(prime[i]==0)
{
for (j=i*2;j<maxn;j+=i)
prime[j]=1;
}
}
while (scanf("%d",&n) && n!=0)
{
if(prime[n]==0)
{
printf("0\n");
continue;
}
else
{
for (left=n-1; prime[left]==1; left--);
for (right=n+1;prime[right]==1; right++);
printf("%d\n",right-left);
}
}
return 0;
}
12-3 Largest prime factor
本题选自杭州电子科技大学OJ题库 （http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2136）
Problem Description
Everybody knows any number can be combined by the prime number.
Now, your task is telling me what position of the largest prime factor.
The position of prime 2 is 1, prime 3 is 2, and prime 5 is 3, etc.
Specially, LPF(1) = 0.
Input
Each line will contain one integer n(0 < n < 1000000).
Output
Output the LPF(n).
Sample Input
1
2
3
4
5
Sample Output
0
1
2
1
3
（1）编程思路。
本题题意是：求一个整数n的最大质因子在质数表中排第几。比如，9的最大质因子是3，3在质数表中排第2；5的最大质因子为5，在质数表中排第3。
定义数组int rank[N]，元素prime[i]的值表示整数i的最大质因子在质数表中排第几。
初始时rank的数组元素初值全为0，表示尚未确定每个数的最大质因子的排位值。同时，借助筛法的思想。rank的数组元素初值全为0，表示给定范围（1~N）的每个整数都在筛子中。
在前面介绍的筛法中，我们只是简单置数组元素值为0或为1，表示在或不在筛子中，本题中rank数组元素值除了表示在或不在筛子中的含义外，非0的元素值还表示最大质因子在质数表中的排位值。为此，修改的筛法执行过程描述如下：
1）初始时，令i=2，cnt=1，表示最小的质数为2，其排位值为1。
2）2<=N，rank[2]=0，cnt=1表示2是排位为1的质数。同时修改rank[2]、rank[4]、rank[6]、rank[8]、rank[10]……等元素的值为1（当前cnt=1），这个修改既表示将2的倍数的数从筛子中筛掉，同时表示这些2的倍数的数当前确定的最大质因子的排位号为1。 cnt++表示下一个质数的排位值为2。
3）i++，i=3，此时rank[3]=0表示3在筛子中，3是质数，cnt=2，表示3是排位值为2的质数。同时修改rank[3]、rank[6]、rank[9]、rank[12]、rank[15]……等元素的值为2（当前cnt=2），这个修改既表示将3的倍数的数从筛子中筛掉，同时表示这些3的倍数的数当前能确定的最大质因子的排位号为2。 cnt++表示下一个质数的排位值为3。
4）i++，i=4，rank[4]=1不为0，表示4不在筛子中，4不是质数，能确定它的最大质因子的排位值为1。不处理，直接跳过。
5）i++，i=5，此时rank[5]=0表示5在筛子中，5是质数，cnt=3，表示5是排位值为3的质数。同时修改rank[5]、rank[10]、rank[15]、rank[20]、rank[25]……等元素的值为3（当前cnt=3），这个修改既表示将5的倍数的数从筛子中筛掉，同时表示这些5的倍数的数当前能确定的最大质因子的排位号为3。 cnt++表示下一个质数的排位值为4。
……
重复上面的过程，直到i>N。此时1~N范围内所有整数的最大质因子在质数表中的排位值都确定了，且保存在数组rank的相应元素中。
（2）源程序。
#include <stdio.h>
#define N 1000000
int rank[N+1]={0};
int main()
{
int i,j,n,cnt=1;
for (i=2;i<=N;i++)
{
if(rank[i]!=0) continue;
for (j=i;j<=N;j+=i)
rank[j]=cnt;
cnt++;
}
while (scanf("%d",&n)!=EOF)
printf("%d\n",rank[n]);
return 0;
}