poj-3696(欧拉定理+推导)

Description

Chinese people think of '8' as the lucky digit. Bob also likes digit '8'. Moreover, Bob has his own lucky number L. Now he wants to construct his luckiest number which is the minimum among all positive integers that are a multiple of L and consist of only digit '8'.

Input

The input consists of multiple test cases. Each test case contains exactly one line containing L(1 ≤ L ≤ 2,000,000,000).

The last test case is followed by a line containing a zero.

Output

For each test case, print a line containing the test case number( beginning with 1) followed by a integer which is the length of Bob's luckiest number. If Bob can't construct his luckiest number, print a zero.

Sample Input

Sample Output

Case 1: 1
Case 2: 2
Case 3: 0

题目题意：题目给我们1个数L,让我们求最小的一个数满足俩个要求1：数字的每一位都是8，2：这个能被L整除。

题目分析：这个题目重在公式的推导，我们假设这个数是8*(10^x-1)/9

即 8*(10^x-1)/9=k*L,我们左右俩边除以gcd(8,L) 这个非常关键。

(10^x-1)*8/gcd(8,L)=k*9*L/gcd(8,L)

我们注意到 8/gcd(8,L) 与L/gcd(8,L) 肯定互质，因为8与L的最大公约数都约去了。

我们注意到8与9也是互质的，没有公共的质因子，那么8/gcd(8,L)与9*L/gcd(8,L)互质

我们令 mod= 9*L/gcd (8,L)

在上面的等式左右模mod ,刚刚我们证明了 8/gcd(8,L)与mod 互质，那么%mod 肯定不为0

所以我们得到了:

(10^x-1)%mod=0;

即 (10^x-1)=k*mod

10^x=k*mod+1

10^x=1 %mod

变形到这里，我们已经完成了推导，现在就是欧拉定理了

在数论中，欧拉定理,（也称费马-欧拉定理）是一个关于同余的性质。欧拉定理表明，若n,a为正整数，且n,a互质，则:

所以当gcd (10,mod)==1 时，那么我们的x=phi[mod]，但是这个x不是最小的，我们要求得就是满足题意x最小的因子，当gcd(10,mod)!!=1时，就输出0

代码如下:

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#define ll long long
using namespace std;

const int maxn=1e6+10;
int prime[maxn],cnt;
bool vis[maxn];
void get_prime()//打表
{
    memset (vis,true,sizeof (vis));
    vis[1]=false;
    for (int i=2;i<maxn;i++) {
        if (vis[i]) prime[cnt++]=i;
        for (int j=0;j<cnt&&i*prime[j]<maxn;j++) {
            vis[i*prime[j]]=false;
            if (i%prime[j]==0) break;
        }
    }
}

ll gcd(ll a,ll b)
{
    if (b==0) return a;
    return gcd( b,a%b);
}

ll get_euler(ll n)//欧拉函数
{
    ll res=n,a=n;
    for (ll i=2;i*i<=a;i++) {
        if (a%i==0) {
            res=res/i*(i-1);
            while (a%i==0) a=a/i;
        }
    }
    if (a>1)
        res=res/a*(a-1);
    return res;
}

ll fast_muti(ll a,ll b,ll mod)//快速乘法，因为在快速幂中，乘法会炸long long
{
    ll ans=0;
    while (b) {
        if (b&1)
            ans=(ans+a)%mod;
        a=(a+a)%mod;
        b>>=1;
    }
    return ans;
}
ll fast_pow(ll base,ll k,ll mod)
{
    ll ans=1;
    while (k) {
        if (k&1)
            ans=fast_muti(ans,base,mod);
        base=fast_muti(base,base,mod);
        k>>=1;
    }
    return ans;
}
ll factor[1005][2],fcnt;
void get_factor(ll n)//质因子分解
{
    memset (factor,0,sizeof (factor));
    fcnt=0;
    for (int i=0;i<cnt&&(ll)prime[i]*prime[i]<=n;i++) {
        if (n%prime[i]==0) {
            factor[fcnt][0]=(ll)prime[i];
            while (n%prime[i]==0) {
                factor[fcnt][1]++;
                n=n/prime[i];
            }
            fcnt++;
        }
    }
    if (n!=1) {
        factor[fcnt][0]=n;
        factor[fcnt++][1]=1;
    }
}
int main()
{
    ll l,icase=1;
    get_prime();
    while (scanf("%lld",&l)!=EOF) {
        if (l==0) break;
        ll mod=9*l/gcd (8,l);
        if (gcd(10,mod)!=1) {
            printf("Case %lld: %d\n",icase++,0);
            continue;
        }
        ll ans=get_euler(mod);
        get_factor(ans);
        for (int i=0;i<fcnt;i++) {
            for (int j=0;j<factor[i][1];j++) {//挨个去检验，如果去掉这个因子，对结果有没有影响，没有就去掉
                if (fast_pow(10,ans/factor[i][0],mod)%mod==1) ans=ans/factor[i][0];
            }
        }
        printf("Case %lld: %lld\n",icase++,ans);
    }
    return 0;
}

来源：CSDN

作者：wust_cyl

链接：https://blog.csdn.net/wust_cyl/article/details/77473373

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欧拉定理

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