人脸三维重建与表观建模(四)如何训练3d morphable model三维形变模型
有了3d morphable model三维形变模型，那么问题是怎么能够训练这个模型，
上面这个流程图是《FaceWarehouse: a 3D Facial Expression Database for Visual Computing》中的一张流程图。
首先是用深度采集设备，如kinect，获取一个人在不同表情下的几何结构，这是一个点云的形式。
然后通过kinect fusion把缺失的部分补齐，这个点云的几何结构不能直接用， 这是会做一个标准的人脸模型，这个人脸模型拓扑结构是定义好的，然后把这个标准的人脸几何模型，通过非刚性的形变就能把它形变到采集到的点上，就得到了用标准的人脸拓扑结构表示采集到的人脸的几何模型。
有一个问题是假设要求模特做10种或者20种表情，每个人的理解是不同的，如张嘴动作，张嘴每个人张的大小不一致，这时候就需要一个facial rigging的过程，提前定义一个标准的表情模版，通过标准表情模版和采集数据的模版之间的匹配，就可以得到不同的人在标准表情下对应的几何机构，然后把这个流程重复在许多人身上，就可以得到一个数据集，再对这个数据集进行pca分解，就可以得到三维形变模型中的向量，这样就完成了整个模型构建的过程。
有了构建好的模型，这时三维人脸重建的过程就退化成对模型中参数回归的过程，参数有4个
第一个确定人脸几何结构要选择投影矩阵的方式，用弱视透视投影或者透视投影，这里用Π表示。
第二个和第三个参数就是与人脸长相相关的两个参数，一个是个人的长相，一个是表情
第四个是否恢复人的肤色颜色，如果用肤色，还要用肤色模型。
有了这些，通过一张输入图片，对以上固定的参数进行回归的问题。常用的两个约束如下：
这两个约束，一个是人脸特征点，一个是人脸皮肤颜色。人脸特征点是在三维人脸模型上预先定义好的，就是68个常用的特征点，通过2d特征点检测器在输入图像上也检测到对应特征点，这种成像通过投影矩阵，把3维模型的特征点映射到2维图像像素上对齐。这个过程就能构建人脸几何结构的约束。
另外一个约束，三维模型上每一个点所属的颜色，，与它投影到2维图像上的像素的颜色是一致，通过它构建一个约束。
通过以上两个约束，就可以得到一个三维图像比较好的构建效果。
上图是2018年今EGSR Eurographics Symposium on Rendering Wiley/ Blackwell 会议上发表的，可以看上面左边的feature，是以人脸特征点作为约束做的重建效果已经做的非常好，加上颜色信息会在一些细节上呈现更好的重建效果。
在做人脸三维重建的过程中有一个重要的选择是选择投影矩阵，选择弱透视投影或者透视投影。
弱透视投影或者透视投影的区别，透视投影能呈现近大远小的效果，问题是计算复杂，正交矩阵不能呈现近大远小的效果，为了能呈现近大远小，又不需要带来很大的计算量，透视投影引入了一个数：
就是上图公式中的f，如果一个人离镜头比较近，那脸看上去比较大，就会给他一个很大的skill，如果一个人离镜头比较远，那脸看上去比较小，就会给他一个很小的skill，通过控制f，可以实现近大远小的效果。但是弱透视投影忽略了相机的投影过程。
在人脸三维重建过程中，当采集到人脸离相机比较近的图像，会有一个问题。你可以打开手机的前置摄像头，你离前置摄像头更近的过程，慢慢就会被你的脸颊挡住，随着你离前置摄像头远离，你会慢慢出现图像当中。这就是透视投影的效果，
弱透视投影不管人脸和相机的距离远近都会投影到屏幕上，人脸离相机比较近她的拟合效果是不好的。相反用透视投影就没有这个问题。但是做透视投影会碰到一个问题，要恢复相机的内参矩阵，相机内参矩阵包括相机的焦距（fx和fy），
和光芯位置（相机光轴在图像坐标系中的偏移量）cx和cy。一般在做产品过程中会假设相机的光芯就是输入图像的光芯，这个假设的问题是在深度学习框架下，输入的人脸图片 很有可能是从其他相机拍摄的图片上crop 下来了，在整个裁剪的过程中已经破坏了相机内参矩阵，
这时再去恢复一个假设像机的内参矩阵，得到的内参矩阵并不完全正确。
另外一个问题是拍摄的人物离镜头比较远，这时透视投影矩阵就会退化成弱透视投影矩阵，这时候透视投影矩阵和弱透视投影矩阵已经没有多大的区别。在实际做产品过程中，如自拍应用是必须要考虑透视投影矩阵的效果，也是实际工程当中采用的普遍思路。
参看前文：
飘哥：人脸三维重建与表观建模(一)什么是三维人脸重建zhuanlan.zhihu.com
飘哥：人脸三维重建与表观建模(二)工业领域的三维人脸重建zhuanlan.zhihu.com
飘哥：人脸三维重建与表观建模(三)用一张人脸图片进行三维人脸重建zhuanlan.zhihu.com