欧拉函数、欧拉定理和费马小定理
对于正整数n，欧拉函数是小于等于n的正整数中与n互质的数的数目，表示为φ（n）。
性质1：对于素数p，φ（p）=p-1。
性质2：对于两个互质数p，q，φ（pq）=φ（p）*φ（q）=（p-1）（q-1）。（积性函数）（易证）
性质3：若n是质数p的k次幂，φ（n）=pk-pk-1=（p-1）pk-1，因为除了p的倍数外，其他数都跟n互质。
性质4：
因为：x可以分解成p1q1×p2q2×p3q3……×pnqn （pi为x的质因数）
因为piqi两两互质，所以：φ（x）=φ（p1q1）×φ（p2q2）×φ（p3q3）……×φ（pnqn） （性质2）
所以：φ（x）=（p1q1-p1q1-1）×（p2q2-p2q2-1）×（p3q3-p3q3-1）……×（pnqn-pnqn-1） （性质3）
提取x即得到公式。
性质5：n=Σφ（d|n）
yu大有个牛逼的证法，把1到n的所有数除以n，变成n个既约分数，分母d只可能是n的约数。并且，以d为分母的分数个数正好是φ（d）。因此，分数总数n=Σφ（d|n）。
欧拉定理：
对于互质的正整数a和n，有
证明：
( 1 ) 令 Zn = {x1, x2, …, xφ(n)} （mod n）， S = {a * x1, a * x2, … , a * xφ(n)} （mod n），
则 Zn = S 。
① 因为 a 与 n 互质， xi (1 ≤ i ≤ φ(n)) 与 n 互质， 所以 a * xi 与 n 互质，所以 a * xi mod n ∈ Zn 。
② 若 i ≠ j ， 那么 xi ≠ xj，且由 a, n互质可得 a * xi mod n ≠ a * xj mod n （消去律）。
( 2 ) aφ(n) * x1 * x2 … xφ(n) mod n
≡ (a * x1) * (a * x2) * … * (a * xφ(n)) mod n
≡ (a * x1 mod n) * (a * x2 mod n) * … * (a * xφ(n) mod n) mod n
≡ x1 * x2 * … * xφ(n) mod n
对比等式的左右两端，因为 xi (1 ≤ i ≤ φ(n)) 与 n 互质，所以 aφ(n) ≡ 1 mod n （消去律）。
注：
消去律：如果 gcd(c,p) = 1 ，则 ac ≡ bc mod p ⇒ a ≡ b mod p 。
费马小定理：
ap-1 ≡ 1 （mod p）（a<p） （性质1易证）
