高冷贵族: 隐马尔可夫模型

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引言

大家都用过Siri,Cortana之类的语音助手吧? 当你对着手机说出'我的女朋友温柔吗?',Siri 或Cortana就会根据你说的这句话翻译成一段文字,然后再作应答. 先不管应答部分, 你可曾想过: Siri是如何将你说的话翻译成一段文字的?嗯,猜对了, 这里就用到了隐马尔可夫模型(Hiden Markov Model, HMM).

例子

假设你有三个女朋友(嘿~,现实不可以,想想总可以吧~,/躲拖鞋…), 你每周末只能选择陪其中一位(为了世界和平…). 而作为程序员的你,也没有什么情调,只会与女朋友做二种事情: 吃饭,看电影, 而因为工作繁忙,你每周也只能做其中一件事,三位美丽的女士也很理解,体谅你,也都很配合,很高兴.

那么问题来了, 你是如何选择周末去陪哪个女朋友呢? 三位女士都很可爱,你不想冷落每一个人,但第一个女朋友(记为A女朋友)有点聒噪,因此你会稍微少去一点她那里. 第二,第三个女朋友去都比较安静(分别记为B,C). 于是,你在心里默默地(或者是潜意识地)定下了去陪三位女朋友的概率:

女朋友	A	B	C
概率	0.2	0.4	0.4

比如,陪A女朋友的概率是0.2,可简单的理解为十次大约有二次会去陪她. 然而这只是你刚开始考虑的事,因为当你周末陪女朋友结束之后,你会根据本次的约会体验选择下一周要陪伴的女朋友.之前初始的'选择'概率就不再起作用了.

那约会结束后你是如何选择下一周的女士呢? 因为三位女士的性格比较稳定,因此每次的体验都会差不多,于是你的内心又有了一个下周去哪个女朋友的概率了:

本周陪伴\下周陪伴	A	B	C
A	0.5	0.2	0.3
B	0.3	0.5	0.2
C	0.2	0.3	0.5

什么意思呢? 比如你本周陪伴A了,那下周你继续陪A的概率是0.5, 而下周去陪B的概率则为0.2, 而去陪伴C的为0.3.

还没完~, 因为每个女朋友的喜好不一样,因此你们在一起做的事也不一样: A比较随意,吃饭,看电影都可没,没差; B比较文艺,则喜欢看电影会稍微多一些; C 则是个吃货,比较喜欢吃饭,但也会看电影.于是,你的心里又有谱了:

女朋友	吃饭	看电影
A	0.5	0.5
B	0.4	0.6
C	0.7	0.3

也就是说,比如对于C来说, 你们在一起呢,0.7的概率会去吃饭,也即十次大约有7次会去吃饭, 而有约三次会去看电影.

有一天,你在朋友圈发了个状态: 吃,吃,看,看,吃.

这引起了你朋友圈的三个人的兴趣:

你老妈, 你老妈对你的情况比较了解,她知道你对这三位女朋友的想法(即知道上面三张表), 她现在比较感兴趣的是,下周她儿子去干嘛(也比较八卦~).

你表姐, 你表姐因为住在另一个城市,所以沟通比较少,因而你对三位女朋友的感觉(上面三张表)她并不知道,只知道你同时和三位女生谈恋爱,所以她现在想根据你的发出的状态判断出你对三位女生的感觉(上面三张表).

你同事, 你同事也是你的基友,因此对你的事比较了解,没事你会跟说说三个女生在你心里的感受(上面三张表),但为防止他八卦,你并没有把每周去哪位女朋友那里告诉他.这下可勾起了他的好奇心,于是想根据你的状态猜出你每周都是陪伴的谁.

好了,隐马尔可夫模型讲完了~

什么? Are you kidding me ?

没有,真的,这就是马尔可夫模型. 下面个图来表示下.

描述模型

这张图表示的就是你这五周以来与女朋友们的互动情况. 在隐马尔可夫模型中, 粉色圈圈那一行代表的是女朋友的情况,从微信状态的角度,它是一个隐藏在后面的状态(没有发在状态里啊~). 因此称为(隐)状态序列(这就是HMM中'隐'字的意思),而且这个状态链呢么是一个马尔可夫模型或叫做马尔可夫链. 什么是马尔可夫链? 就是说当前状态只决定于前一个状态. 在本本例中,你本周去哪个女朋友那里,完全由你上周在哪个女朋友那里来决定. 而绿色框框则被称为观测序列, 即别人从朋友圈能看到你什么都做了什么.

上面的三张表,即是描述模型的变量,第一张表我们称为初始状态向量,第二张表称为转移概率矩阵,第三张表则是观测概率矩阵.

而后面三个人的想要知道的东西就是HMM的三个基本问题:概率计算问题,学习问题,以及预测问题.

(三个问题的求解方式在后面~~~)

HMM 应用非常广泛,特别是在自然语言处理,语音识别,信号处理,生物序列分析(DNA, 蛋白质等)等等大放异彩.HMM是时间序列模型,处理时间序列是其本职工作.

PS: 一如既往, 只做了解的,读到这里就可停下了,想深入一些的,请继续~

基本概念*

HMM是一个时序概率模型,描述由一个隐藏的马尔可夫链随机生成不可观测的状态随机序列,再由各个状态生成一个观测而产生观测随机序列的过程.具体请看上图.

现在咱们一般化地讨论一下, 设:

(𝑦 1, 𝑦 2, \dots, 𝑦 𝑛),

分别为状态序列与观测序列, 因状态序列是一个马尔可夫链,故所有变量的联合概率分布为:

𝑃 (𝑥 1, 𝑦 1, \dots, 𝑥 𝑛, 𝑦 𝑛) = 𝑃 (

则为观测条件. 因此,

设:

Q 是所有可能的状态集合, V 是所有可能的观测集合.

𝑄 = {𝑞 1, 𝑞 2, \dots, 𝑞 𝑁},

其中,N 是所有可能的状态数, M 是所有可能的观测数.

I 是长度为T 的状态序列, O 是对应的观测序列:

𝐼 = {𝑖 1, 𝑖 2, \dots, 𝑖 𝑇}

𝐴 = [𝑎 𝑖 𝑗] 𝑁 𝑋 𝑁

𝑎 𝑖 𝑗 = 𝑃 (𝑖 𝑖 + 1 = 𝑞 𝑗 | 𝑖

是在 t 时刻处于状态 qi 的条件下在时间 t+1 转移到状态 qj 的概率.

B 是观测概率矩阵

𝐵 [𝑏 𝑗 (𝑘)] 𝑁 𝑋 𝑀

𝑏 𝑗 (𝑘) = 𝑃 (𝑜 𝑡 = 𝑣 𝑘 | 𝑖 𝑡 =

是在 t 时刻处于状态 q_j 的条件下生成观测数 vk 的概率.

𝜋 = (𝜋 𝑖)

𝜋 𝑖 = 𝑃 (𝑖 1 = 𝑞 𝑖),

是时刻 t = 1处于状态 qi 概率.

有了上述准确, HMM就基本上搞定了:

定义

𝜆 = (𝐴, 𝐵, 𝜋)

这就是HMM,其中括号内的三个部分称为HMM三元素.

基本假设

齐次马尔可夫性假设, 即假设在任意时刻 t 的状态只有前一状态有关,与其他任何状态,观测都无关:
$𝑃 (𝑖 𝑡 | 𝑖 𝑡 - 1, 𝑜 𝑡 - 1, \dots,$

基本问题

概率计算问题, 给定定

,即最有可能的状态序列.

接下来,对于这三个问题,我们将各个击破.

前向,后向算法

对于第一个问题, 最简单的方法就是暴力计算,把每种情况都考虑一遍, 不用我说,你也知道这不可行. 倒不是因为复杂,是因为算不起,它的时间复杂度是恐怖的

不过还真有比较不错的算法,而且还有两种!

上图可表示为一HMM列.左,右两边虚线内我们分别用

𝛼 𝑡 (𝑗) = 𝑃 (𝑜 1, 𝑜 2, \dots, 𝑜 𝑡,

这两个就是我们分别用于前向,后向算法的关键因子.

再明确一下,我们的目标是求解

前向算法

初始状态

𝑃 (𝑜 1 | 𝜆) = \sum 𝑗 = 1 𝑁 𝑃 (𝑜 1,

出发:

𝛼 𝑡 + 1 (𝑗)

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