一个经典的对易子与因果律模型
在中国科学院大学2019年秋季学期的量子场论（近代物理方向）这门课上，张昊老师给我们带来了一个非常经典的模型来阐述因果律与关联函数还有对易子的关系。据他本人说，他以前是学过生物竞赛的，因此这里介绍的这个模型，也是来源于生物这门学科的。现在，我将把这个模型重新阐述一遍，与自己的理解相互印证，若有不足，还请见谅。
在量子场论中，我们有时会计算场量从某时空点\(x\)到另一个时空点\(y\)的传播函数，即定义两点关联函数如下
\[
D(x\rightarrow y):=\langle0|\phi(y)\phi(x)|0\rangle\tag{1}
\]
对于实标量场而言，场量可以用Fourier展开如下
\[
\phi(x)=\int{\frac{\text{d}^3\vec{p}}{\sqrt{(2\pi)^3}}\frac1{\sqrt{2E_p}}\left[a(\vec p)e^{-ip\cdot x}+a^\dagger(\vec p)e^{ip\cdot x}\right]}\tag{2}
\]
通过将(2)带入(1)中计算，我们可以得到
\[
D(x\rightarrow y)=\int{\frac{\text d^3\vec p}{(2\pi)^3}\frac1{2E_p}e^{ip\cdot(x-y)}} \tag{3}
\]
上式在类空间隔\((x-y)^2<0\)下，并不为零。这仿佛告诉我们，量子场论破坏了狭义相对论中的光速不变原理，更进一步地说，破坏了因果性。然而，下面介绍的一个来源于生物计算基因遗传概率的模型，我们可以看到，在经典世界中，存在这样一个例子，它说明了，两点关联概率不为零并不代表它们有因果关系。
首先我们来思考红绿色盲问题，众所周知，红绿色盲基因是伴X染色体隐性遗传的，并且我们可以假设，在人群中，红绿色盲的基因携带率为\(0<p<1\)。现在假定我们已知了母亲（记为\(M\)）是红绿色盲，那么我们自然可以知道儿子（记为\(S\)）是红绿色盲的概率是\(1\)，我们可以将这件事情标记为
\[
MS=1 \tag{4}
\]
我们自然还想计算知道了儿子是红绿色盲，母亲是红绿色盲的概率是多少。注意到，若是儿子是红绿色盲，那么他的基因型为\(X^bY\)，他母亲的基因型则只可能有两种：\(X^BX^b,\ X^bX^b\)，其中第一种为不发病的隐性携带者，第二种显然则是患病的，利用已知的的红绿色盲基因携带率，自然可以写下儿子是红绿色盲，母亲也是红绿色盲的概率是
\[
SM=\frac{p^2}{1-(1-p)^2}=\frac p{2-p}\tag{5}
\]
由此，我们注意到在上述这个表示下，\(S\)与\(M\)的地位是不相等的。进一步地，我们将这个操作视为一个运算，那么\(S\)与\(M\)之间的运算规律自然不是对易的，它们之间的对易子可以给出如下
\[
\begin{aligned}
\left[M,S\right]&=MS-SM\\
&=1-\frac p{2-p}\\
&=\frac{2(1-p)}{2-p}>0
\end{aligned} \tag{6}
\]
我们自然知道，由于遗传关系，儿子得红绿色盲肯定是母亲导致的，而对易子不等于零最深层次的原因正是来源于此。但是有一件很有趣的事情却值得注意，那就是若有一个母亲有两个（或更多）的儿子时，若已知一个儿子是红绿色盲，那么另外一个儿子也是红绿色盲的概率又是多少呢？首先，我们从一个简单的想法入手，若是认为关联等价于因果的话，那么有关联的两件事情必然可能存在因果律，而因果律不联系的两件事情必然不存在关联。这两个孩子之间显然不存在所谓的遗传关系（即我的基因决定了你的基因），这就是我们这里采用的因果律，那么已知一个孩子（记为\(S_1\)）得了红绿色盲，另外一个孩子（记为\(S_2\)）得红绿色盲的概率应该与我已知的条件没有任何关系，那么他的患病几率自然应该和背景人群的红绿色盲患病概率\(p^2\)一致。但很遗憾，他们是兄弟，有着共同的母亲，实际上这个几率应该计算如下
\[
S_1S_2=\frac{\frac23\times\frac12+\frac13}{1-(1-p^2)}=\frac2{3(2p-p^2)}>p^2 \tag{7}
\]
上式的大于号我并没有详细计算，但可以确信这是正确的。为什么他们没有因果关系，却使概率偏离了呢？再讨论这件事情前，我们先回过头来，我们可以得到首先知道另一个儿子（\(S_2\)）患病而第一个儿子（\(S_1\)）患病的概率同样是
\[
S_2S_1=\frac2{3(2p-p^2)}\tag{8}
\]
虽然，这两兄弟患病的概率在已知一人患病的作用下都受到了改变，比人群中的患病概率偏高，但是他们的关系确是平等的，可计算他们的对易子确实等于零
\[
[S_1,S_2]=[S_2,S_1]\equiv0 \tag{9}
\]
我们可以看到，如果用对易关系为零来判定为因果联系的具体体现，那么这件事情就说得过去。因为(6)中指出了，有因果联系的两件事件对易子不为零，而(9)中进一步指出，有因果联系的两件事件对易子为零，这件事情可以放在具体生活中毫不相干的两个人的患病概率不受对方是否患病影响，因此对易子自然为零。从这套论述中，我们可以明确地将因果律定义为对易关系为零！