一 向量空间与内积空间
向量空间也称作线性空间，向量空间对向量线性组合封闭。如果 
为向量空间 V 的一组基，则 
仍在向量空间 V 中。在向量空间中，仅定义了数乘与向量加法运算。在此基础上，定义内积运算，通过内积运算，可以求解向量长度，向量间角度等概念，这就定义了内积空间。设向量为X, Y，X 长度定义为 
， X,Y 间角度定义为 
。
二 内积定义
在 
空间上，有如下矢量 
和 
，在几何中，矢量长度表示原点到其端点的距离，根据 Pythagorean 定理，有 
。定义内积 
，则矢量 X 长度等于 
，这样建立其内积与长度关系。
在复矢量空间 
中，有如下矢量 和 ，定义内积 
。 如何理解复矢量内积？首先，针对单个复数 
，
有 
，使用共轭乘法可求解复数长度。当两个不同复数共轭乘法时，
，其结果仍然为一个复数，可分解为实数分类与虚数分量。复矢量内积就是对所得复数相加得到一个结果，最终结果一般包括实数分量与虚数分量部分，即一般结果为 
形式。
内积满足如下性质：
1）正性：如果 v 为非零向量， <v, v> > 0， 该性质对实矢量与复矢量均成立；
2）共轭对称性：
，针对复矢量，该等式成立，针对实矢量，共轭运算等于本身，则内积运算对称；
3）均匀性：
， 针对复矢量时 c 为复数，实矢量时 c 为实数；
4）线性：<u + v, w> = <u, w> + <v, w>, <u, v + w> = <u, v> + <u, w>, 针对复矢量与实矢量均成立。
三 
空间与 
空间
一个信号可表示为 f(t) 的函数，在区间 
上 ，空间 
表示所有平方可积函数组成的空间，即
函数 f(t) 可以存在无穷多个间断点，使用 Lebesgue 观点，即不考虑测度为零的集合时，在区间 
上的积分和有限。在 N 维向量空间中，空间维度为 N，向量长度也为 N。类比 N 维向量空间，空间 是无限维的（即无限个 f(t) 满足以上条件）， 区间 可以被无限细分，类似向量长度可以无限长。
假设 f(x), g(x) 是 
空间中的信号，将区间 [0, 1] 离散化为 N 等分，构成 N 为向量 
，
，当 N 趋近无穷大大时，
, 
， 则 
， 
。
当逐渐增大 N 时， 
也随着逐渐增大，由于 
空间为无限维空间，如果按该方法定义内积将得到一个无限大值（在向量空间中，由于空间维度有限，使用乘积和定义是合理的，其物理意义也很明确）。改进的方法为使用无限和平均值，则有 
。当 N 趋近无穷大时，该式为 Riemann 和近似，则 
内积可定义为：
， 
。
空间内积同样满足 正性，共轭对称性，均匀性以及线性等性质。
由于在 Lebesgue 积分过程中，不考虑测度为零的间断点，则在 
空间中定义两个函数相等意味着除了零测度集外，只要其他区域上满足 f(t) = g(t) 即认为函数相等。
在信号处理应用中，存在很多无限离散序列，
，该离散序列在 j > |N| 时，
，这定义了 
的离散形式：
，这里不再像 定义使用平均值是因为离散序列在 j > |N| 时，。