分层图最短路。。。听起来有点高大上，其实就只是相当于三维的最短路而已，和三维迷宫一样，我们用dis[i][k]表示起点S到第k层i的最短路，其中同层的图如果是无向图，继续保持，然后用一条由该层指向上一层的有向线段并且费用为0，作为该层到上一层的道路，实际上就是这样的：
由该层向上一层改点的相邻点建边，建完之后就可以直接开始跑最短路了，当然，有2种跑法，（一）可以将k层的点全部列出来，也就是总共k*n个点，然后建很多的边，最后跑最短路，结果访答案的时候：
for (int i=0; i<=k; i++)
ans=min(ans,dis[t+i*n]);
（二）普通建边，在跑最短路的队列里面进行操作，这个就比较方便，下面给出代码：
void dij(int st,int ed,int k,int n)
{
priority_queue<node>q;
q.push(node{st,0,0});
dis[st][0]=0;
while (!q.empty()){
node now=q.top();
q.pop();
int id=now.id%n,fl=now.floor;
if (vis[id][fl]) continue;
vis[id][fl]=1;
for (int i=head[id]; i!=-1; i=eg[i].next){//同层最短路
int v=eg[i].to;
if (!vis[v][fl] && dis[v][fl]>dis[id][fl]+eg[i].w){
dis[v][fl]=dis[id][fl]+eg[i].w;
q.push(node{v+n*fl,dis[v][fl],fl});
}
}
if (fl<k){
for (int i=head[id]; i!=-1; i=eg[i].next){//i层到i+1层最短路
int v=eg[i].to;
if (!vis[v][fl+1] && dis[v][fl+1]>dis[id][fl]){
dis[v][fl+1]=dis[id][fl];
q.push(node{v+n*(fl+1),dis[v][fl+1],fl+1});
}
}
}
}
}
理解了这个核心代码之后那么也就不难写出分层图最短路的代码了，下面给出“洛谷P4568[JLOI2011]飞行路线”的题面和AC代码：
题目描述
Alice和Bob现在要乘飞机旅行，他们选择了一家相对便宜的航空公司。该航空公司一共在n个城市设有业务，设这些城市分别标记为0到n-1，一共有m种航线，每种航线连接两个城市，并且航线有一定的价格。
Alice和Bob现在要从一个城市沿着航线到达另一个城市，途中可以进行转机。航空公司对他们这次旅行也推出优惠，他们可以免费在最多k种航线上搭乘飞机。那么Alice和Bob这次出行最少花费多少？
输入格式
数据的第一行有三个整数，n,m,k，分别表示城市数，航线数和免费乘坐次数。
第二行有两个整数，s,t，分别表示他们出行的起点城市编号和终点城市编号。
接下来有m行，每行三个整数,a,b,c，表示存在一种航线，能从城市a到达城市b，或从城市b到达城市a，价格为c。
输出格式
只有一行，包含一个整数，为最少花费。
输入输出样例
5 6 1 0 4 0 1 5 1 2 5 2 3 5 3 4 5 2 3 3 0 2 100
8
说明/提示
对于30%的数据,2≤n≤50,1≤m≤300,k=0;
对于50%的数据,2≤n≤600,1≤m≤6000,0≤k≤1;
对于100%的数据,2≤n≤10000,1≤m≤50000,0≤k≤10,0≤s,t<n,0≤a,b<n,a≠b,0≤c≤1000
以下是AC代码：
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int mac=5e4+10;
const int inf=5e8+10;
struct Edge
{
int to,w,next;
}eg[mac<<1];
struct node
{
int id,d,floor;
bool operator <(const node &a)const{
return d>a.d;
}
};
int head[mac],num=0,vis[mac][15],dis[mac][15];
void add(int u,int v,int w)
{
eg[++num]=Edge{v,w,head[u]};
head[u]=num;
}
void dij(int st,int ed,int k,int n)
{
priority_queue<node>q;
q.push(node{st,0,0});
dis[st][0]=0;
while (!q.empty()){
node now=q.top();
q.pop();
int id=now.id%n,fl=now.floor;
if (vis[id][fl]) continue;
vis[id][fl]=1;
for (int i=head[id]; i!=-1; i=eg[i].next){
int v=eg[i].to;
if (!vis[v][fl] && dis[v][fl]>dis[id][fl]+eg[i].w){
dis[v][fl]=dis[id][fl]+eg[i].w;
q.push(node{v+n*fl,dis[v][fl],fl});
}
}
if (fl<k){
for (int i=head[id]; i!=-1; i=eg[i].next){
int v=eg[i].to;
if (!vis[v][fl+1] && dis[v][fl+1]>dis[id][fl]){
dis[v][fl+1]=dis[id][fl];
q.push(node{v+n*(fl+1),dis[v][fl+1],fl+1});
}
}
}
}
}
int main()
{
int n,m,k,st,ed;
scanf ("%d%d%d",&n,&m,&k);
scanf ("%d%d",&st,&ed);
memset(head,-1,sizeof head);
for (int i=1; i<=m; i++){
int u,v,w;
scanf ("%d%d%d",&u,&v,&w);
add(u,v,w);add(v,u,w);
}
for (int i=0; i<n; i++)
for (int j=0; j<=k; j++)
dis[i][j]=inf;
dij(st,ed,k,n);
int ans=inf;
for (int i=0; i<=k; i++)
ans=min(ans,dis[ed][i]);
printf ("%d\n",ans);
return 0;
}