安全路径
题意
Solution
嗯，首先既然不能经过最后一条边，那么我们考虑建出一个最短路树
然后非树边\(u,v,w\)，只能影响到\(u->v\)这个路径上的点，因为只能往回跑
那么考虑怎么更新。一个显然的办法就是把边按照某种顺序排列，然后用并查集标记一下哪个点访问过了，可以做到\(O(n)\)
那么按照什么顺序排序呢？我们设一个点\(u\)到1的距离（即最短路长度）为\(dis_u\)
那么对于一条非树边\(u->v\)，设路径上其中一个点为\(x\)，那么这个“不经过最后一条边的次短路”的长度即为\(dis_u+dis_v+w-dis_x\)
然后我们按照\(dis_u+dis_v+w\)排序，就可以快乐维护了
code:
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
struct qwq{
int u;
int v;
int w;
int nxt;
}edge[400010],e[400010];
int head[400010];
int cnt=-1;
void add(int u,int v,int w){
edge[++cnt].nxt=head[u];
edge[cnt].u=u;
edge[cnt].v=v;
edge[cnt].w=w;
head[u]=cnt;
}
void add1(int u,int v,int w){
e[++cnt].nxt=head[u];
e[cnt].u=u;
e[cnt].v=v;
e[cnt].w=w;
head[u]=cnt;
}
struct QAQ{
int v,w;
bool operator <(const QAQ& tmp)const{
return w>tmp.w;
}
};
int dis[400010];
int vis[400010];
int n,m;
void dijkstra(int s){
for(int i=1;i<=n;++i)dis[i]=INT_MAX;
dis[s]=0;
priority_queue<QAQ> q;
q.push((QAQ){s,0});
while(!q.empty()){
QAQ u=q.top();
q.pop();
int v=u.v,w=u.w;
if(w!=dis[v])continue;
for(int i=head[v];~i;i=edge[i].nxt){
int tv=edge[i].v,tw=edge[i].w;
if(dis[tv]>dis[v]+tw){
vis[tv]=i;
dis[tv]=dis[v]+tw;
q.push((QAQ){tv,dis[tv]});
}
}
}
}
struct dat{
int u,v,w;
int du,dv;
}a[400010];
bool cmp(dat a,dat b){
return a.w+a.du+a.dv<b.w+b.du+b.dv;
}
int tot;
int f[400010][32];
bool pd[400010];
void rebuild(){
memset(head,-1,sizeof(head));
int tmp=cnt;
cnt=-1;
for(int i=2;i<=n;++i){
int u=edge[vis[i]].u,v=edge[vis[i]].v,w=edge[vis[i]].w;
add1(u,v,w);
add1(v,u,w);
pd[vis[i]]=true;
}
for(int i=0;i<=tmp;++i){
if(!pd[i]&&!pd[i^1]){
a[++tot].u=edge[i].u;
a[tot].v=edge[i].v;
a[tot].w=edge[i].w;
a[tot].du=dis[edge[i].u];
a[tot].dv=dis[edge[i].v];
pd[i]=true;
}
}
}
int dep[400010];
void dfs(int u){
for(int i=1;i<=31;++i){
f[u][i]=f[f[u][i-1]][i-1];
}
for(int i=head[u];~i;i=e[i].nxt){
int v=e[i].v;
if(v==f[u][0])continue;
f[v][0]=u;
dep[v]=dep[u]+1;
dfs(v);
}
}
int LCA(int x,int y){
if(dep[x]<dep[y])swap(x,y);
int d=dep[x]-dep[y];
for(int i=0;i<=31;++i){
if(d&(1<<i)){
x=f[x][i];
}
}
if(x==y){
return x;
}
for(int i=31;i>=0;--i){
if(f[x][i]==f[y][i])continue;
x=f[x][i],y=f[y][i];
}
return f[x][0];
}
int fa[400010];
int getfa(int x){
return fa[x]==x?x:fa[x]=getfa(fa[x]);
}
int ans[400010];
int main(){
memset(head,-1,sizeof(head));
scanf("%d%d",&n,&m);
for(int i=1;i<=m;++i){
int u,v,w;
scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);
add(u,v,w);
add(v,u,w);
}
dijkstra(1);
rebuild();
dfs(1);
for(int i=1;i<=n;++i){
fa[i]=i;
}
sort(a+1,a+1+tot,cmp);
for(int i=1;i<=tot;++i){
int u=a[i].u,v=a[i].v;
int sum=a[i].w+a[i].du+a[i].dv;
int lca=LCA(u,v);
while(dep[u]>dep[lca]){
int tmp=getfa(u);
if(tmp==lca)break;
if(tmp==u){
tmp=fa[u]=f[u][0];
ans[u]=sum;
}
u=tmp;
}
while(dep[v]>dep[lca]){
int tmp=getfa(v);
if(tmp==lca)break;
if(tmp==v){
tmp=fa[v]=f[v][0];
ans[v]=sum;
}
v=fa[v];
}
}
for(int i=2;i<=n;++i){
printf("%d\n",ans[i]?ans[i]-dis[i]:-1);
}
}
TMD考试的时候dij的堆打反了，然后T了，只有暴力分QAQ